专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广（含答案解析）.docx

专题2 蒙日圆 微点2 蒙日圆的推广 【微点综述】 上一微点我们讨论了椭圆中的蒙日圆，类似的我们可以的到双曲线和抛物线中的蒙日圆，本为专题进一步讨论蒙日圆的推广． 1．蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广 【定理1】双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：（如图3）． 图3 图4 【定理2】抛物线的两条互相垂直的切线交点的轨迹是该抛物线的准线：（如图4，可以看作半径无穷大的圆）． 注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线可以看作半径为无穷大的圆）．总结可得如下的蒙日圆定理： 【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆． 证明：设圆锥曲线的方程为，其中系数矩阵满秩（即系数行列式）． 设平面内有一点，不在上．过作的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程可设为．联立曲线方程，消去得 ， 为书写方便，令，由切线与圆锥曲线只有一个交点可得，即： ， 观察上式，当把代入之后可知前三项都含有，可写出二次项系数为．同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为．∵两条切线互相垂直，斜率之积为，因此由韦达定理得，整理得到 ． 当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为．联立与的方程，得到，由得，同理，， 两个方程相加，恰好得到此时的坐标满足方程 ， ∴无论切线斜率是否存在，的轨迹方程均为 （**）． 习惯上用表示动点坐标，上式的均改为，得到的轨迹方程 （**）． ∵和的系数相同，且缺少含的项，∴方程（**）表示一个圆，即的轨迹是一个圆（实圆、点圆、虚圆均可）．证毕． 说明：（1）令，代入（**）可得椭圆的蒙日圆方程：．定理1得证． （2）令，代入（**）可得双曲线的蒙日圆方程：．当时，，双曲线的蒙日圆存在．但当时，，方程退化为一个点．此时易证过的直线要么和双曲线有两个交点，要么没有交点（∵双曲线关于中心对称），∴过无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线．而当时，，于是方程表示一个虚圆（无法在坐标平面上表示），∴平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线．综上，只有当时（或离心率时），双曲线才有蒙日圆．定理2得证． （3）令，代入（**）可得抛物线的蒙日圆方程：．这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线．这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足，∴蒙日圆方程的二次项系数为，方程退化为一条直线．定理3得证．由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直． 2．蒙日圆的其他推广 【定理4】（1）椭圆的方程为的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是； （2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹方程是． 【定理5】过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则 ①当时，所作的两条切线垂直； ②当时，所作的两条切线斜率之积为． 【定理6】（1）椭圆的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是： ①当时，即圆（但要去掉四个点a,?b? ②当且时，即椭圆（但要去掉四个点a,?b?,? ③当时，即两条直线在椭圆外的部分（但要去掉四个点a,?b?, ④当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点a,?b?, ⑤当时，即即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点a,?b?, （2）双曲线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是：①当时，即圆；②当时，即双曲线； ③当或时，即椭圆；④当时，不存在． （3）抛物线的两条斜率之积为的切线交点的轨迹是： ①当时，即直线；②当时，的方程为． 3．典型例题 例1．（2022·江苏·金陵中学二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致． 【解析】若，则，即，∴， 由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上， 不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为； 若，则，即，∴， 由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上， 不妨取两点，则两条切线为和，∴两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，∴半径为，∴蒙日圆为． 综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或，故选C． 【评注】由已知条件，需要分和两种情况讨论． 例2．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发