全等三角形证明之二次全等学案.docx

全等三角形证明之二次全等学案 知识梳理 1.遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度： 由平行想到同位角；内错角；同旁内角； 由垂直想到直角三角形两锐角互余；同角或等角的余角相等； 由外角想到三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 例1：已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BD=CE，BE交CD于点O．求证：AO平分∠BAC． 【思路分析】 读题标注： 梳理思路： 要证AO平分∠BAC，则需证明∠DAO=∠EAO． 要证∠DAO=∠EAO，则需证明△AOD≌△AOE． 要证△AOD≌△AOE，需找三组条件，其中必须有一组边． 分析发现，AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，已经有了两组条件，还需要一组条件． 从已知条件出发，发现BD=CE，∠BDO=∠CEO=90°，又因为∠1=∠2，可证明△BOD≌△COE． 由△BOD≌△COE，可为上面的全等准备一组条件OD=OE． 至此，在△AOD和△AOE中三组条件找全，利用HL可以证明全等，从而得出结论． 【过程书写】 证明：如图 ∵CD⊥AB，BE⊥AC ∴∠ADO=∠AEO=∠BDO=∠CEO =90° 在△BOD和△COE中 ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴OD=OE（全等三角形对应边相等） 在Rt△AOD和Rt△AOE中 ∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL） ∴∠DAO=∠EAO（全等三角形对应角相等） ∴AO平分∠BAC 练习题 已知：如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F． 求证：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB． 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC= ∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG． 求证：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF． 已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE． 求证：△ABC≌△DCB． 已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，过点E，F分别作ED⊥AC于点E，FB⊥AC于点F，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G，AB=CD．求证：△DEG≌△BFG． 已知：如图，AB=AC，BD=CD，AD与BC相交于点O．求证：AD⊥BC． 已知：如图，在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB．求证：AM=AN． 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D是BC的中点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．试猜想AB和AC的数量关系，并证明你的猜想． 已知：如图，△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，点E，F分别在AB，AC边上，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE． 求证：①△EBD≌△GCD；②△EFD≌△GFD． 已知：如图，AB=AC，BD=CD，E是线段AD延长线上一点．求证：△ABE≌△ACE． 已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BC，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．求证：CE=DF． 已知：如图，点C，D在线段BE上，BD=EC，CA⊥AB于点A，DF⊥EF于点F，且AB=EF．求证：CF=DA． 已知：如图，在△PBC中，D为PB上一点，PD=PC，延长PC到点A，使得PA=PB，连接AD，交BC于点O，连接PO． 求证：OD=OC． 【参考答案】 证明：如图， ①∵∠ACM=∠BCN=60° ∴∠MCN=60° ∴∠ACN=∠MCB=120° 在△CAN和△CMB中， ∴△CAN≌△CMB（SAS） ②∵△CAN≌△CMB ∴∠ANC=∠MBC（全等三角形对应角相等） ∵∠ECN=60°；∠FCB=60° ∴∠ECN=∠FCB 在△CEN和△CFB中， ∴△CEN≌△CFB（ASA） 证明：如图， ①∵∠D=∠ABC=90° ∴∠ABG=90° ∴∠D=∠ABG 在△ADE和△ABG中， ∴△ADE≌△ABG（SAS） ②∵△ADE≌△ABG（已证） ∴AE=AG（全等三角形对应边相等） ∠EAD?∠GAB（全等三角形对应角相等） ∵∠EAF?45°；∠BAD=90° ∴∠BAF+∠EAD=45° ∴∠BAF+∠GAB=45° 即∠GAF=∠45° ∴∠GAF=∠EAF 在△AFE和△AFG中， ∴△AFE≌△AFG（SAS） ∴EF=GF（全等三角形对应边相等） ∵GF=BG+BF ∴EF=DE+BF 证明：如图， 在△AEB和△D