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积分变换第讲拉普拉斯变换 * 第1页，共35页，编辑于2022年，星期五 拉普拉斯变换 * 第2页，共35页，编辑于2022年，星期五 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足傅氏变换的条件, 因而不存在傅氏变换.但是对之进行某些处理后，便可进行傅氏变换了。①因此, 首先将j(t)乘上u(t), 这样t小于零的部分的函数值就都等于0了；②而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt(b>0)的上升速度是最快的了, 因而e-bt下降的速度也是最快的.因此, 几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在。 * 第3页，共35页，编辑于2022年，星期五 t f(t) O t f(t)u(t)e-bt O * 第4页，共35页，编辑于2022年，星期五 对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换, 可得 * 第5页，共35页，编辑于2022年，星期五 定义 设函数f(t)当t?0时有定义, 而且积分 在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为 称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式--单边拉氏变换), 记为 F(s)=L [f(t)] F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数). 而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为 f(t)=L -1[F(s)] 也可记为f(t)?F(s). * 第6页，共35页，编辑于2022年，星期五 例1 求单位阶跃函数 根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有 * 第7页，共35页，编辑于2022年，星期五 例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式, 有 这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有 其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间 为 Re(s)>Re(k) * 第8页，共35页，编辑于2022年，星期五 拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足:1, 在t?0的任一有限区间上分段连续2, 当t???时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M>0及c?0, 使得 |f(t)|?Mect, 0?t<??则f(t)的拉氏变换 在半平面Re(s)>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)?c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数. * 第9页，共35页，编辑于2022年，星期五 M Mect f(t) t O * 第10页，共35页，编辑于2022年，星期五 证 由条件2可知, 对于任何t值(0?t<??), 有 |f(t)e-st|=|f(t)|e-bt?Me-(b-c)t, Re(s)=b,若令b-c?e>0 (即b?c+e=c1>c), 则 |f(t)e-st|?Me-et.所以 根据含参量广义积分的性质可知, 在 Re(s)?c1>c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛. * 第11页，共35页，编辑于2022年，星期五 在(2.1)式的积分号内对s求导, 则 由此可见, 上式右端的积分在半平面 Re(s)?c1>c内也是绝对收敛且一致收敛, 从而微分与积分可以交换顺序。 * 第12页，共35页，编辑于2022年，星期五 因此得 这就表明, F(s)在Re(s)>c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s)>c内是解析的. * 第13页，共35页，编辑于2022年，星期五 例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换 * 第14页，共35页，编辑于2022年，星期五 同理可得 * 第15页，共35页，编辑于2022年，星期五 G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经常应用的G-函数定义为 利用分部积分公式可证明 * 第16页，共35页，编辑于2022年，星期五 例4 求幂函数f(t)=tm (常数m>-1)的拉氏变换. 为求此积分, 若令st=u, s为右半平面内任一复数, 则得到复数的积分变量u. 因此, 可先考虑积分 * 第17页，共35页，编辑于2022年，星期五 积分路线是OB直线段, B对应着sR=rRcosq+jrRsinq, A对应着rRcosq, 取一很小正数e, 则C对应se=recosq+jresinq, D对应recosq. 考察R???, ???的情况. q a O D C A t (实轴) 虚轴 B v * 第18页，共35页，编辑于2022年，星期五 根据柯西积分定理, 有 * 第19页，共35页，编辑于2022年，星期五 * 第20页，共35页，编辑于2022年，星期五 * 第21页，共35页，编辑于2022年，星期五 同理 * 第22页，共