《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第三章 第10课 微分中值定理.doc

10第 10 第 课 微分中值定理 10微分中值定理 10 微分中值定理 第 课 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 9 PAGE 9 微分中值定理 微分中值定理 第 课 100 课题 微分中值定理 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： 理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用。 思政育人目标： 通过学习罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力 教学重难点 教学重点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明过程 教学难点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（25 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解罗尔中值定理及其证明过程，并通过例题介绍其应用 费马引理 设在的某一邻域内有定义，且在点处可导，如果对任意的，都有或，则． 证明 不妨设时，（可以类似地证明）．那么，当时有 ， 当时有 ． 由在处可导及函数极限的保号性得 ， ， 所以． 费马引理的几何意义如图3-1所示：若曲线在点是局部最高点或局部最低点，则曲线在该点处必有水平切线． 定理1（罗尔中值定理） 设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得． 图3-1 证明 由于在上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理可知，在上必有最大值和最小值．这样，有以下两种可能的情形： （1）若在上，则在上为常数，函数在内任意点的导数为0； （2）若，由于，与至少有一个值在内取得．现设（证法类似），则必存在一点，使（或）．因此对任意，都有，由费马定理知． 罗尔定理的几何意义：对闭区间上的连续曲线，当两端点连线为水平直线时，在开区间内至少有一点具有水平切线，如图3-2所示． 图3-2 例1 验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求点，使． 证明 因为是初等函数，所以在上连续，在内可导，且，故其满足罗尔定理的三个条件． 又因为，由得，，所以． 例2 证明的导函数有3个零点分别位于区间，，内． 证明 因为在R上连续可导，且，在区间，，上应用罗尔定理，存在，，，使得，，．所以，，是的三个零点． 【学生】理解罗尔中值定理 学习罗尔中值定理及其证明过程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（25 min） 【教师】讲解拉格朗日中值定理及其证明过程，并通过例题介绍其应用 定理2（拉格朗日中值定理） 设函数在上连续，在内可导，则至少存在一点，使得． 分析 如图3-3所示，拉格朗日中值定理实际是让我们证明曲线上存在一点，使其切线平行于，点所在直线，即 （）， ． 图3-3 因此，只要证明在上满足罗尔中值定理条件，即可证明拉格朗日中值定理成立． 证明 易知，点所在直线方程为 ． 令， 因为在上连续，在内可导，所以在上连续，在内可导，并且 所以，由罗尔中值定理知至少存在一点，使得．而 所以，即． 拉格朗日中值定理的几何意义：如果过连续曲线上除端点外的其他点有不垂直于x轴的切线，那么这条曲线上除端点外至少存在一点，使过该点的切线平行于区间两端点的连线． 显然，对于拉格朗日中值定理的条件，若进一步使得，则拉格朗日中值定理即为罗尔定理，这说明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况． 例3 验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出定理中的． 证明 显然在上连续，在内可导，故其满足拉格朗日中值定理的条件．又因为 ， 则， 解得，（舍去）． 作为拉格朗日中值定理的应用有如下推论． 推论 若在区间I上的导数恒为零，则在区间I上是一个常数． 证明 在区间I上任取两点，()，应用拉格朗日中值定理得 ． 假设，所以，而，在区间I上的选取是任意的，因此在区间I上是一个常数． 例4 证明，． 证明 设，则 ，， 所以，． 又因为，所以，结论得证． 例5 证明当