含参数不等式恒成立与存在性问题含答案.docx

PAGE PAGE 10 含参数不等式恒成立与存在性问题 由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。通过对近几年高 考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。 一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题 在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式. 类型 1：对于一次函数 f (x) ? kx ? b, x ?[m, n] ，则有： ? f (m) ? 0 如果 f (x) ? 0恒成立? ? ； ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 如果 f (x) ? 0恒成立? ? . ? f (n) ? 0 例 1、若不等式2x ? 1 ? m(x 2 ? 1) 对满足? 2 ? m ? 2 的所有m 都成立，求 x 的范围. 类型 2：设 f (x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)， x ? R （1） f (x) ? 0在x ? R 上恒成立? a ? 0且? ? 0； （2） f (x) ? 0在x ? R 上恒成立? a ? 0且? ? 0 . 例 2、已知关于 x 的不等式mx2 ? 2mx ? 1 ? 0 对任意 x ? R 恒成立，求实数m 的取值范围. 类型 3：设 f (x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) x ?[?, ?] ?? ? ?（1）当a ? 0 时，如果 f (x) ? 0在x ?[?, ?] 上恒成立? ? ?  b ? ? 2a  ?? ? ? b ? ? 或?或?? 2 或? 或?  ?? b ? ? ? 2a ； ?? f (?) ? 0 ??? ? 0 ?? f (?) ? 0 当 a ? 0 时，如果 f (x) ? 0在x ?[?, ?] 上恒成立? ? f (?) ? 0 ?? f (?) ? 0 . ? ? f ?( ) ? 0（2）当a ? 0时，如果 f (x) ? 0在x ?[?, ?] ? f ?( ) ? 0 ? ? ?当 a ? 0时，如果 f (x) ? 0在x ?[?, ?] 上恒成立? ? ? b ? ? ?2a ? ?? ? ? b ? ? 或?? 2a 或? ?? b ? ? 或?? 2a . 或? ?? f (?) ? 0 ??? ? 0 ?? f (?) ? 0 例 3、若 x ???2,2?时，不等式 x2 ? ax ? 3 ? a 恒成立，求a 的取值范围。 说明：在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论 的思想来解决。 类型 4、若函数 f (x) 在区间 D 上存在最小值 f (x) 和最大值 f (x) ，则: min max ①不等式 f (x) ? a 在区间 D 上恒成立? f (x) ? a ； min ②不等式 f (x) ? a 在区间 D 上恒成立? f (x) ? a ； min ③不等式 f (x) ? b 在区间 D 上恒成立? f (x) ? b ； max ④不等式 f (x) ? b 在区间 D 上恒成立? f (x) ? b ； max 例 4、已知函数 f ?x ?? lg ? x ? a ? 2 ?，若对任意 x ??2,???恒有 f ?x?? 0 ，试确定a 的取值范围。 ? ? x? ? x 变式：已知 x ????,1?时，不等式1? 2x ? ?a ? a2 ?? 4x ? 0 恒成立，求a 的取值范围。 类型 5、若函数 f (x) 在区间 D 上不存在最大（小）值，且值域为(m, n) ，则： ①不等式 f (x) ? a （或 f (x) ? a ）在区间 D 上恒成立? m ? a ； ②不等式 f (x) ? b （或 f (x) ? b ）在区间 D 上恒成立? n ? b ； 例 5、当 x ?? 1 ,3 ? 时， log x ? 1恒成立，求实数a 的取值范围。 3a? ? 3 a ? ? ? 1 ? 变式：若不等式3x2 log a x ? 0 在 x ?? 0, 3 ? 内恒成立，求实数a 的取值范围。 ? ? 二、在不等式有解的条件下，求参数的取值范围问题 类型 1、若函数 f (x) 在区间 D 上存在最小值 f (x) 和最大值 f (x) ，即 f (x) ?[m, n] ，则对不等式有 min max 解问题有以下结论： ①不等式