金融工程第十二章布莱克斯科尔斯莫顿模型.ppt

* * * * 应用于股票远期合约 远期合约到期时刻的价值： 远期合约在时间0的价值： * 第二十六页，共四十八页。 对　　　　　　　　　　　右边求值是一种积分过程，结果为： 其中， N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。 * 13.8 布莱克-斯科尔斯定价公式 Black-Scholes pricing formulas 第二十七页，共四十八页。 * 第二十八页，共四十八页。 在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值 。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。 * 定价公式的理解： 第二十九页，共四十八页。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式： * 无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 第三十页，共四十八页。 B-S公式的性质 当前股票价格很大，期权价格： 股票波动率接近于零，期权价格： * 第三十一页，共四十八页。 * 第三十二页，共四十八页。 估计无风险利率：一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率，并且要转化为连续复利的形式，才可以在B-S-M公式中应用。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲线倾斜严重，须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。 估计标的资产价格的波动率：比估计无风险利率困难得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。 * 13.11 隐含波动率 implied volatility 第三十三页，共四十八页。 　　我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。 * 波动率 volatility 第三十四页，共四十八页。 历史波动率：从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差，具体方法一般有两种，第一种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差，第二种则包括广义自回归条件异方差模型GARCH、随机波动率模型等。 隐含波动率：资本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率，即根据B-S-M期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。 * 第三十五页，共四十八页。 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接 套用公式: 分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 * 13.12.1有收益资产的欧式期权的定价公式（1） 13.12 股息 Dividend 第三十六页，共四十八页。 因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替S就可求出 支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。 * 有收益资产的欧式期权的定价公式（2） 第三十七页，共四十八页。 * 第三十八页，共四十八页。 13.12.2 美式期权 无收益资产的美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美