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fuxiti 例 1 证明方程 1－x－sinx＝0 在区间[0，1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0 。5× 10－4 的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0) =10，f (1)=－sin10 ∴ f (x) =1－x－sinx=0 在[0，1]有根.又 f(x)=1－cosx〉0 (x [0.1]) ,故f(x)＝0 在区间[0,1]内有唯一实根. 给定误差限＝0 。5×10－4，有 只要取 n＝14. 例 4 选择填空题 1 。 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足 ，则方程f(x) =0 在区 间[a，b]一定有实根. 答案:f(a) f (b)0 解答：因为 f(x)在区间[a，b]上连续,在两端点函数值异号, 由连续函数的介值定理,必 存在 c，使得f(c) =0,故f(x)=0 一定有根. 2. 用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根,把方程(x)=0 表成 x= (x)，则f(x)=0 的根是( ) (A) y=x 与y= (x)的交点 (B) y=x 与 y= (x)交点的横坐标 (C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y= (x)与 x 轴交点的横坐标 答案: (B) 解答:把f (x)=0 表成 x= (x)， 满足 x= (x)的 x 是方程的解，它正是y=x 与 y=(x)的 交点的横坐标。 3。为求方程 x3 ―x2 ―1=0 在区间[1.3,1 。6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立 相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) ( (A) (B) (C) (D) 答案：(A) 解答： 在(A)中 故 迭代发散。 在 (B) 中 ，故迭代收敛。 在(C)中， ，故 迭代收敛。 在(D)中，类似证明,迭代收敛。 例 3 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第 1 次消元后的第 2 ，3 个方程分别为. 解答 1. 选 a21=2 为主元，作行互换，第 1 个方程变为： 2x1+2x2+3x3=3,消元得到 4) 1010 2 1.411 4) 1010 2 1.41 1.41 是应 是应填写的内容。 一、解答下列问题： 1) 数值计算中,最基础的五个误差概念(术语)是 ， , ， , . 2) 分别用 2。718281， 2。718282 作数e 的近似值 ，它们的有效位数分别有 位， 位; 又取 3 1.73 (三位有效数字)，则 3 1.73 . 3)为减少乘除法运算次数，应将算式 y 18 3x1 5(x1)2 7(x1)3 改写成 4)为减少舍入误差的影响，应将算式 10 99 改写成 5)递推公式 0 y 2 0 yn 10yn1 1, n 1, 2, 如果取 y 2 1.41作计算，则计算到 y 时，误差有 0 10 这个计算公式数值稳定不稳定 ？ 1) 绝对误差 ， 相对误差 ， 有效数字 ， 截断误差 ， 舍入误差 . 2) 2) 6 ， 7 ， 102 2 x 1 3) u 1 ； y ((7u 5)u 3)u 18 1 3)10 99 3) 或 1010 2 2 1 1010 102 1 2 二、解答下列线性代数方程组问题: 1) 解线性代数方程组Ax b ( A Rnn非奇异)的关键思想是首先把方程组 约化为 和 ，然后分别通过 过程 或 过程很容易求得方程组的解. 2)用“列主元 Gauss 消元法”将下列方程组： 1 5 3 2 3 x 1 1 4 10 x 0 2 3 0. 1 1 x 2 3 化为上三角方程组的两个步骤 1 2 3 1 5 4 10 0 3 0. 1 1 2