中考数学提升讲义-共顶点旋转模型及其延伸模型.docxVIP

讲义精讲 | 借鉴参考 PAGE PAGE 6 word文档 | 实用可编辑 中考数学共顶点旋转模型 一、题源分析 〔人教版八年级上册第55页〕如图， ,求证 〔人教版九年级上册第63页〕如图，都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 二、共顶点旋转模型简要概述 共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形ADC和三角形ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： 〔1〕寻找公共的顶点 〔2〕列出两组相等的边或者对应成比例的边 〔3〕将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 典例分析1： 〔2014年河南〕〔1〕问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE 填空：〔1〕∠AEB的度数为； 〔2〕线段AD、BE之间的数量关系是。 〔2〕拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。 思路点拨： 〔1〕第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：. 〔2〕类比第一问，可以得到，故而全等的三角形为，之后再做计算即可。 典例分析2： 〔2015年安徽〕如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC． 〔1〕求证：AD＝BC；〔2〕求证：△AGD∽△EGF； 〔3〕如图2，假设AD、BC所在直线互相垂直，求 EQ \F( AD,EF)的值． 思路点拨： 〔1〕第一问，结合共顶点旋转全等模型即可 〔2〕类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据，类比全等证明相似。 〔3〕结合前两问的相似即可得到 EQ \F( AD,EF)即为相似比，亦即求解的值即可。 典例分析3： 〔2011年广州中考〕如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． 〔1〕证明：B、C、E三点共线； 〔2〕假设M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：。 思路点拨： 〔1〕第一问，共顶点旋转模型 〔2〕根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。 三、共顶点旋转模型的应用 1．半角模型：所谓半角模型，是指在从角的顶点向角内部引出两条直线，这两条直线形成的夹角恰好等于原角的一半大小。 典例分析1：〔2014年四川绵阳〕如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，那么正方形ABCD的边长为． 思路点拨：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°即可。 典例分析2：〔2016?南岗区模拟〕△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD，且∠BDC=120°，BD=DC，点M，N分别在边AB，AC上，连接DM、DN、MN，∠MDN=60°，探究：△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． 〔1〕如图1，当DM=DN时，=； 〔2〕如图2，当DM≠DN时，猜测=；并加以证明． 思路点拨：典型的半角模型，将三角形DCN绕点D逆时针旋转120°即可。 总结： 〔1〕半角模型的根本形式：大角包小角，小角得一半 〔2〕半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。 延伸例题：〔2016春?黄岛区期中〕问题：如图〔1〕，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． 【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图〔1〕证明上述结论． 【类比引申】 如图〔2〕，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，那么当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】 如图〔3〕，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=〔40﹣40〕米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为米． 2．K字模型：所谓K字模型，与半角模型类似，实那么是指构成的图形类似于“K〞字。 题源：人教版课本新课标八年级下册第30页，勾股定理的证明。 典例分析1：〔2014年四川南充〕