第15讲数学方法选讲学生版.pdfVIP

第十五讲 数学方法选讲 教学内容： 数学竞赛中充满了生动活泼的方法，它们对求解数学竞赛题往往起着举足轻重的作用。因此有志于参 加数学竞赛的同学，除了牢固掌握 上的知识之外，还要认真领会，深入学习一些解数学竞赛题的方法。 本讲我们来介绍几种初中数学竞赛的常用方法。 一、例题 第一部分：归纳的方法 通过观察若干具体的事例，发现存在于他们之中的某种似乎带规律性的东西，我们相信它具有普遍意 义，把它用于 的一般事例，并加以证明。 例1 ：整数a，b ，c 表示三角形三边的长，其中a b c，试问当b=n （n 是正整数）时，这样的三角形   有多少个？ 例2 ：设k 是自然数，试求满足不等式 x + y k 的整数解的组数。 第二部分：类比与猜想 类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，猜想着两个对象在其他方面也可能有相似之处。运 用类比方法求解数学问题的关键是 引进“辅助问题”，通过类比形成猜想，发现解题思路，预见可能 的 。这种方法一般是从特殊情况考虑问题。 1 1 1 2 2 2 例3 ：设x，y，z 为三个互不相等得实数，且x + = y + = z + ,求证：x y z 1 y z x 例4 ：有2n （n≥2）个人参加会议，其中每一个人都至少与n 个与会者相识，证明可从中选出4 个人围 圆桌坐下，使每两个相邻者互相认识。 例5 ： 设p,q,a ,b (i=1,2, n)都是非零实数,且 i i 4 4 4 4 a1 +a2 + +an = p 3 3 3 3 a b +a b + +a b = p q 1 1 2 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 a b +a b + +a b = p q 1 1 2 2 n n a b3 +a b3 + +a b3 = p q3 1 1 2 2 n n b4 +b4 + +b4 = q4 1 2 n 求证：a1 = a2 = = an = p 。 b b b q 1 2 n 第三部分：计数的方法 计数方法是组合数学的主要课题之一，也是近年来数学竞赛的热门专题，其基本方法主要有枚举法， 对应法，以及利用加法原理，乘法原理，容斥原理等等。这一部分我们主要讲枚举法和对应法。 例6 ：正整数n 写成三个正整数之和，有多少种写法？ 例7 ：n 名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场后才能产生冠军？ 例8 ：数3 可以用四种方法表示为 1 个或几个正整数的和，如3,1+2,2+1,1+1+1.试问 1993 可以用多少 种方法类似于上面的方式表示出来？ 第四部分：反证法 反证法的一般步骤是： 1，反设：假设所要证明的结论不成立。 2，归缪：由反设出发，通过正确的推理，导出 3，结论：因为推理正确，产生 的原因在于反设的谬误，从而肯定结论成立 例9 :证明边长为1 的正三角形不能被2 个边长小于1 的正三角形盖住. 例 10 ：求证：不能将1 至21 这21 个自然数分别填入图中的各个圆圈内，使得除第一行外，每个圆圈 内的数字都等于其肩膀上的两个圆圈内的数字之差的绝对值 例11 ：证明方程x2 + y2 + z2 = 2xyz 有唯一的一组整数解 第五部分：赋值法。 将问题中某些元素用适当的数表示后，再进行运算，推理的解题方法叫作赋值法。 例12 ：在一个圆上给定10 个点，把其中6 个点染成黑色的，余下四个染成白色，他