2020年中考复习《最值问题》压轴综合（含答案）.docVIP

2020年中考复习《最值问题》压轴综合 [中考真题] （2019·无锡）如图，在中，,为边上一动点(点除外)，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为　 　 [思路解析] 过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB=AC=5，BC=4，得到BM=CM=2，易证△AMB∽△CGB，求得GB=8，设BD=x，则DG=8-x，易证△EDH≌△DCG，EH=DG=8-x，所以S△BDE=BD?EH= x(8?x)=?(x?4)2+8，当x=4时，△BDE面积的最大值为8． [考点提炼] 类型一：代数最值 解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 利用绝对值求最值； 运用配方法求最值； 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 建立函数模型求最值； 利用基本不等式求最值； 构造几何模型求最值. 类型二：几何最值 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点； 2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短； 3．数形结合法，比如图形面积问题． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． [例题精讲] 【例1】利用配方法求最值 设a、b为实数，那么的最小值是 ． 【答案】-1 【例2】 利用判别式法求最值 设、是方程的两个实根，当为何值时，有最小值，并求这个最小值． 【答案】 注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； (2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得． 【例3】利用基本不等式求最值 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第天应付的养护与维修费为[]元． (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗(元)表示为使用天数(天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 【答案】（1）y=； （2）2000天. 注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有： (1)； (2)；（3）若，，则； (4)若，，，则． 以上各式等号当且仅当 (或)时成立． 【例4】利用函数模型求最值 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm，面积为sm2． (1)求s与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米? (3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）S=-3x2+24x（）；（2）AB=5m； （3）.能围成，围法：长10m，宽m. 【例5】构造几何模型求最值 求代数式最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值． ∴原代数式的最小值为3. 【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ． 【答案】5 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例7】利用定理或公理求最值 （1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ． 【答案】10 （2）如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值等