数学分析考研重点内容及常见题型.pdf

数学分析考研重点内容及常见题型 数学分析是高等院校数学类各专业主干课程之一，是数学各专业硕士研究生入学考试的 必考课程。数学分析内容丰富，知识面广，综合性强，理论体系严谨，解题方法灵活巧妙。 主要括一元函数极限、一元函数的连续性、一元微分学、一元函数积分学、级数、多元函数 微分学、多元函数积分学等，分别涉及七章内容，学生在复习考研数学分析时，主要通过例 题体会和掌握相应内容的思想方法和解题技巧，通过习题训练达到巩固基础知识，提高理论 水平和应用能力。如何掌握好该课的基本内容并能熟练地运用其中的基本技巧至关重要。 1 一元函数极限 极限是考研热点问题。本章包含四个部分，即函数；用定义证明极限的存在性；求极限 值的若干方法；O.Stolz 公式。其中极限的求法是核心。 重点内容：（1）极限定义，基本理论（2）几个常用的不等式（3）极限存在性的证明 （4）极限的求法（5）实数基本定理。 常见题型：（1）几个常用的不等式的证明（2）用定义证明极限（3）利用单调有界原 理证明极限存在（4）求极限（利用等价量、利用已知极限、利用两边夹法则、利用洛必达 法则、利用Taylor 公式、利用定积分定义、利用级数收敛的必要条件）（5）实数基本定理 的应用。 2 一元函数的连续性 本章包含连续性的证明、连续性的应用、一致连续、半连续、函数方程。 重点内容：（1）函数连续性的证明，证明的主要方法有：用定义证明、用左右极限证 明（对分段函数）、用归结原则证明（2）连续性的应用（假定函数连续，证明在某些条件 下有什么结果）（3）一致连续性。 常见题型：（1）直接证明函数在某区间或某点连续（2）讨论间断点的类型（3）连续 性的应用（假定函数连续，证明在某些条件下有什么结果）（4）利用一致连续的定义及其 否定形式证题（5）Cantor 定理的应用（6）借助连续模数证明一致连续。 3 一元微分学 本章是基础性内容，包含导数；微分中值定理；Taylor 公式；不等式与凸函数；导数 的综合应用。一元函数微分学在微积分学中占有极重要的位置，是微积分学的重要内容之一。 重点内容：（1）函数导数与微分的概念（2）微分中值定理———罗尔中值定理，拉格 朗日中值定理，柯西中值定理与泰勒中值定理（3）Taylor 公式（4）导数的应用。 常见题型：（1）利用导数（或左右导数）定义解题（2）求函数的高阶导数（3）函数 零点问题讨论（利用Rolle 定理证明零点的存在性，利用单调性证明零点的唯一性）（4） 利用Lagrange 定理证明函数与函数的导数同时存在的命题（5）利用导数法证明恒等式（6） 导数介值性的应用（7）利用Cauchy 中值定理证题（8）利用Taylor 公式证明含有高阶导数 的命题（9）利用Taylor 公式作导数的中值估计、界的估计（10）利用Taylor 公式求极限 （11）不等式的证明（利用单调性、微分中值定理、Taylor 公式、函数的极值、单调极限 证明）（12）导数在几何中的应用。 4 一元函数积分学 本章包含积分与极限、定积分的可积性、积分值的估计、积分不等式及定积分的应用、 若干著名的不等式、反常积分。一元函数积分学是一元函数微积分学的最重要内容，涉及面 较广，影响深远。 重点内容：（1）定积分的定义、几何意义、性质（2）利用定积分定义求极限（3）积 分的极限（4）积分值的估计（5）几个著名不等式（Cauchy 不等式、Schwarz 不等式、平均 值不等式）（6）反常积分的概念、计算、敛散性的判断。 常见题型：（1）利用定积分的定义求和式的极限（2）运用定积分的各种特性和运算法 则求积分的极限（3）利用变量替换、分部积分、缩放被积函数或积分区间、微分中值公式 或Taylor 公式对被积函数进行变形，从而估计积分值（4）几个著名不等式（Cauchy 不等 式、Schwarz 不等式、平均值不等式）的证明、变形及应用（5）利用Newton-Leibniz 公式、 变量替换、分部积分法计算反常积分（6）判定反常积分的敛散性（7）讨论无穷限的反常积 分的收敛性与无穷远处的极限的关系。 5 级数 级数是一门工具，又有完善的理论，是《数学分析》课程中三大基本内容之一。历年来 均为考研热点。本章包含数项级数、函数项级数、幂级数及Fourier 级数四个部分。 重点内容：（1）数项级数敛散定义，正项级数敛散判别法（Cauchy 准则、判阶法、比 较判别法