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实验五 电子波动性的Matlab仿真 实验目的 练习使用基本随机数发生器 rand()函数来模拟实际的随机过程。 认识电子的波动性，加深对量子力学基本概念 (波粒二象性)的理解。 研究电子波长和缝宽的相对大小对衍射的影响 ，比较实物衍射和仿真衍射的异同。 、实验原理 电子双缝衍射是微观粒子具有波动性的重要证明实验 ，开始是作为假想实验而提出的 1988年才由To no mura等人做出了该实验。 本次仿真实验依据电子衍射的几率密度函数 ，运 用蒙特卡罗随机模拟方法，借助计算机的数据可视化技术、绘图技术 ，构建电子双缝衍射的 动态随机过程，清晰地演示出电子衍射的全过程。 电子的德布罗意波长 按照德布罗意的物质波理论，任何粒子都具有粒子性和波动性 (即波粒二象性)，与运动 粒子(电子)相联系的德布罗意波波长： h h (1) p meV 其中普朗克常数h =6.63 10-34 (SI)，p和v分别是电子的动量和速度， me=9.1 10-31 (SI)是电 子的静止质量。假设电子的速度 v是经过加速电压 U获得的，加速后的电子动能 Ek =eU 其中电子电荷e =1.6 10-19 (SI)。按照爱因斯坦的相对论，电子的运动质量和动能 2 2 Ek 二 mc -mec 其中真空光速c =3 108(SI)。联立(1)(2)(3)式得到电子的波长公式： 7 h 1.225 O9 j2meeU(1：eU?2meC2) Ju(1 ；0.9783； 10°U) 根据⑷式代入电子的加速电压 U便可得到电子的波长值，一般在 10-10m或者1埃级别。 电子双缝衍射的概率模型 由于电子既是粒子也是波，所以具有波动性，能发生衍射效应，比如双缝衍射。电子 双缝衍射的装置示意图如图 1所示。衍射屏位于xoy平面，观测屏位于xoy平面，缝S1和 S2的宽度均为a,两缝中心间距为(a+ b)，衍射屏到观测屏的距离为 D。设动量为p、能量 为E的自由电子沿Z轴正方向入射到双缝。入射电子波的波函数为： _(pz _Et) w0eh (5)t时刻到达观测屏上 P点的衍射波函数为:asin( k sin v)2k — sin v2cos(ka bsin2式中k =2二,, (5) t时刻到达观测屏上 P点的衍射波函数为: a sin( k sin v) 2 k — sin v 2 cos(ka bsin 2 式中k =2二,, x代表屏上P点的坐标，衍射角 二如图1所示。按照波函数的概率解释, 电子在空间某点出现的概率 二波函数绝对值平方 ■?(x,t)|2。所以，电子经过双缝在观测 屏上P点出现的概率(实际上是概率密度) 考虑到D (a+b)，有近似式 ⑹(8)式代入 ⑺式，得到电子在屏上 P点出现的概率 (密度)： 2 sin (Ax) 2 w x = w0 2 cos (Bx) (Ax) 兀a 其中 A , B 。易知(9)式中W0是概率的最大值W(X)max，引入归一化概 D 率(密度，即相对概率 Pw(x) 2 sin (Ax) 2 2 cos (Bx) -1 (Ax) ⑷式和(10)式就是本次仿真的理论公式 随机数据的生成方法 根据上述电子在观测屏上出现的概率 (密度)进行随机抽样，便得到按此概率(密度)函数 Pw(X)分布的随机数序列。 在蒙特卡罗方法中，有多种方法可实现按已知分布的随机抽样。 根 据本文要处理的问题的特点 ,采用Von Neumann的舍选法。舍选法的具体做法是： 计算机在一定范围内(观察屏上)随机地选取观测屏上一坐标点 (Xi, yi),并按(10)式计 算电子在该点的出现概率 Pw(Xi)的值。 计算机产生一个0至1之间均匀分布的随机数 M; 将Pw与M进行比较，若Pw》M,则选取该点(Xi, y((意味着此时电子出现在该点)；若 Pw M,则舍去该点，并重复(1)至(3),重新选择坐标点。 通过以上方法，便可以得到一个按 Pw(x)分布的随机数序列。这个随机数序列便是我们实现 电子衍射随机运动过程的依据。 在(1)(2)步中首先需要生成一个基本的随机数， 这个随机数可用rand()函数产生。其用法： rand 或者 rand(m,n,p,…) 作用是产生0-1之间均匀分布的随机数。前者每次仅生成1个随机数，后者生成一个mn p… 的随机数组。在(1)步中随机坐标点可以如下生成：假定 丨-5 10,5 10丨，则命令 x=5e-5*(2*ra nd-1); 将产生[-5e-5,5e-5] 之间均匀分布的随机坐标点 x，每个点出现的概率是相等的。 y坐标 的生成方法类似。在(2)步中使用rand函数重新生成均匀分布的随机数 M,该数作为衍射 电子随机出现在屏上某点(人，yj的概率的评价(取舍)标准。若Pw M,说