高考数学一轮复习函数的单调性与最值.docVIP

第2讲　函数的单调性与最值 最新考纲 考向预测 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性. 命题 趋势 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 核心 素养 逻辑推理、数学抽象、数学运算 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用结论 1．函数单调性的两个等价结论 设?x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)?f(x)在D上单调递增． (2)eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)?f(x)在D上单调递减． 2．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 常见误区 1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误． 2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (3)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝eq \f(1,x)－x　　　　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：选A.对于A，y1＝eq \f(1,x)在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，则y＝eq \f(1,x)－x在区间(0，＋∞)上是减函数；B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数． 3．(易错题)已知函数f(x)＝eq \r(x2－2x－3)，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 解析：选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． 4．已知函数f(x)＝eq \f(2,x－1)，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________． 解析：可判断函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝eq \f(2,5). 答案：2　eq \f(2,5) 5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－eq \f(1,2). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))