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第12章 离散选择模型 若是回归模型的说明变量中含有定性变量，那么能够用虚拟变量处置之。在实际经济问题中，被说明变量也可能是定性变量。如通过一系列说明变量的观测值观看人们对某项动议的态度，某件情形的成功和失败等。当被说明变量为定性变量时如何成立模型呢？这确实是要介绍的二元选择模型或多元选择模型。那个地址要紧介绍Tobit（线性概率）模型，Probit（概率单位）模型和Logit模型。 Tobit（线性概率）模型 Tobit模型的形式如下， yi = ? + ? xi + ui 其中ui为随机误差项，xi为定量说明变量。yi为二元选择变量。此模型由James Tobit提出，因此得名。如利息税、机动车的费改税问题等。设 1 （假设是第一种选择） yi = 0 （假设是第二种选择） 对yi取期望， E(yi) = ? + ? xi 下面研究yi的散布。因为yi只能取两个值，0和1，因此yi 服从两点散布。把yi的散布记为， pi = P ( yi = 1) 1 - pi = P ( yi = 0) 则 E(yi) = 1 (pi) + 0 (1 - pi) = pi 由（2）和（3）式有 pi = ? + ? xi （yi的样本值是0或1，而预测值是概率。） 以pi = - + xi 为例，说明xi 每增加一个单位，那么采纳第一种选择的概率增加。假设用那个模型进行预测，当预测值落在 [0，1] 区间之内（即xi取值在[4, 24] 之内）时，那么没有什么问题；但当预测值落在[0，1] 区间之外时，那么会暴露出该模型的严峻缺点。因为概率的取值范围是 [0，1]，因此现在必需强令预测值（概率值）相应等于0或1（见图）。线性概率模型常写成如下形式， 图 1, ? + ? xi ? 1 pi = ? + ? xi , 0 ? + ? xi 1 0, ? + ? xi ? 0 但是如此做是有问题的。假设预测某个事件发生的概率等于1，可是实际中该事件可能全然可不能发生。反之，预测某个事件发生的概率等于0，可是实际中该事件却可能发生了。尽管估量进程是无偏的，可是由估量进程得出的预测结果却是有偏的。 由于线性概率模型的上述缺点，希望能找到一种变换方式，（1）使说明变量xi所对应的所有预测值（概率值）都落在（0，1）之间。（2）同时关于所有的xi，当xi增加时，希望yi也单调增加或单调减少。显然积存概率散布函数F(zi) 能知足如此的要求。采纳积存正态概率散布函数的模型称作Probit模型。用正态散布的积存概率作为Probit模型的预测概率。另外logistic函数也能知足如此的要求。采纳logistic函数的模型称作logit模型。 积存正态概率散布曲线 logistic曲线 Probit（概率单位）模型，仍假定 yi = ? + ? xi , 而 pi = F ( yi) = 积存概率散布函数曲线在pi = 周围的斜率最大。对应yi在实轴上的值，相应概率值永久大于0、小于1。显然Probit模型比Tobit模型更合理。Probit模型需要假定yi 服从正态散布。 logit模型 该模型是McFadden于1973年第一次提出。其采纳的是logistic概率散布函数。其形式是 pi = F(yi) = F(? + ? xi) = = 关于给定的xi，pi表示相应个体做出某种选择的概率。 Probit曲线和logit曲线很相似。两条曲线都是在pi = 处有拐点，但logit曲线在两个尾部要比Probit曲线厚。利用（）和（）式取得的概率值见表。 表 Probit模型和logit模型概