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第七讲： 函数的周期性与对称性
（一）【 知识梳理】：
周期函数的定义：对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数 T ，使得
f ( x T )
f (x) 恒成立，则称函数
f ( x) 具有周期性， T 叫做
f ( x)
的一个周期，
则 kT （ k Z , k
0 ）也是
f (x)
的周期，所有周期中的最小正数叫
f ( x) 的最小正周期 .
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数 y f x 满足对定义域内任一实数 x （ 其 中 a 为 常 数 ） , 1） f x f x a ， 则 y f x 是以T a 为周期的周期函数；
2 ） f x a f x ， 则 f
x 是以T
2 a 为周期的周期函数；
3） f x a
k (k f x
0) ， 则 f
x 是 以 T
2a 为周期的周期函数；
4 ） 若函数f (x)是偶函数，且f (x a)
f (a x) ， 则 f
x 是以T
2a 为周期的周期函数；
5） 若函数f (x)是奇函数，且f ( x a)
对称性：
f (a x)， 则 f
x 是以T
4a 为周期的周期函数；
函数关于原点对称即奇函数：
f ( x)
f ( x)
函数关于 y 对称即偶函数：
f ( x)
f ( x)
函数关于直线 x a对称：
f (x a)
f (a x)
（二）典例分析：
例 1. （ 安徽卷）函数 f x 对于任意实数 x 满足条件
f x 2
1 ，若
f x
f 1 5, 则
f f 5
(2) 已知定义在 R上的奇函数
f ( x) 满足
f ( x 2)
f ( x) ，则
f (6) 的值为
例 2： 设
f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数，
f (x)
在(0,3) 内单调递减，
且 y f
( x) 的图像关于直线 x
3 对称，则下面正确的结论是
f
(1.5)
f (3.5)
f (6.5)
B. f (3.5)
f (1.5)
f (6.5)
C. f
(6.5)
f (3.5)
f (1.5)
D. f (3.5)
f (6.5)
f (1.5)
例
例 3. 已知函数 f (x ) 满足 f (1) 2, f (x
2)
2015 ， 则 f ( f (x)
3) - f (9) 的值为
例 4. 已知 f (x) 是定 义 在实 数集 R 上 的函 数， 满足 f ( x 2)
f ( x) ， 且 x [0, 2] 时 ，
f (x)
2x x2 . 1 求 x [ 2,0] 时， f (x) 的表达式； 2 证明 f (x) 是R 上的奇函数．
例 5. f ( x) 是定义域在 R 上的奇函数，且其图像关于直线
x 1 对称，
2
则 f (1)
f (2)
f (3)
f (4)
f (5) =
例 6.已知 f ( x)
2
x x
x2
(x
( x
0)
0)
， 则 f ( 2016)
f ( 2015)
f ( 2014)
f (2015) f (2016)=
x
三．【巩固提高】
设函数 f x （ x R）是以 3 为周期的奇函数，且
f 1 1, f 2
a, 则（ ）
A. a >2 B. a <-2 C. a >1 D. a <-1
（2006 山东）已知定义在 R上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x+2) =－f ( x), 则,f (10 ) 的值为 ( ) A.－ 1 B.0 C. 1
函数 f （ x）是定义域为 R的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 . 若 f （x）在［－ 1， 0］ 上是减函数，那么 f （x）在［ 2，3］上是( )
A. 增函数 B. 减 函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函
已知定义在 R 上的函数
f ( x)
是偶函数，对 x
R都 有f (2 x)
f (2
x)，当 f ( 3)
2 时，
f (2007) 的值为（ ）
A． 2 B． 4 C．－ 2 D．－ 4
若已知
f ( x)
是R 上的奇函数，且满足
f ( x 4)
f (x)
，当x
0,2
时 ， f
(x) 2 x2 ，则
f (7)
等于 A. 2
2
98
98
已知定义在 R上的函数
f ( x) 满足
f ( x)
f x 3
2
， 且 f
2 3 ，则
f (2014)
设偶函数
f ( x)
对任意 x R，都有
f ( x 3)
1
f (x)
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