自招竞赛 数学讲义：导数的几个重要定理及应用（学生版）.pdfVIP

自招竞赛秋季数学讲义 导数的几个重要定理及应用 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 导数是中学数学的主要内容，是除个别地区外大部分省市高考的重点。作为高中数学和 大学数学的重要衔接点，导数也是自主招生考试中的热点。在往届各大联盟考试中导数和微 积分初步固定占有一到两题的位置，难度要求以基本的应用为主。竞赛中，导数作为高等数 学中最基本的方法，也做了较高的难度要求。 本节课介绍导数的一些基本定理及应用，包括罗尔定理、柯西定理、拉格朗日定理和最 为重要也是考试中应用最广的洛必达法则。希望通过这些基本的介绍可以帮助学生更好地理 解求导的一些常用技巧。 知识梳理 罗尔定理   1. 费马定理：设f(x)在 U(x )内有定义，且在x 处可导，若 x U(x )，有 0 0 0 0 f(x)≤f(x )[或f(x)≥f(x )]， 则 f′(x )=0。 0 0 0   证明：不妨设x U(x )时，有f(x) ≤f(x ) 。则对x +∆x U(x ) ，有 0 0 0 0 f(x +∆x) ≤f(x ) 0 0 f (x x) f (x ) 即 当∆x0 时， 0 0 ≤0； x f (x x) f (x ) 当∆x0 时， 0 0 ≥0 ； x f (x x) f (x ) 从而： f′(x )=f′ (x )= lim 0 0 ≤0 ； 0 + 0 x0 x f (x x) f (x ) f′(x )=f′ (x )= lim 0 0 ≥0 ； 0 - 0 x0 x 于是f′(x )= 0 0 定义：称满足f′(x)=0 的点为驻点(或稳定点，或临界点)。 2. 罗尔定理：如果函数y=f(x)满足：  1) f(x) C[a，b] （表示f(x)在[a，b]上连续，下同）  2) f(x) D(a，b) （表示f(x)在(a，b)上可导） 3) f(a)=f(b) 那么在(a，b)内至少存在一点ξ(aξb)，使得： f′(ξ)=0。 证明：因为f(x) ∈C[a，b] ，所以f(x)在[a，b] 内存在最大值M和最小值m。 以下分两种情形讨论： 1) M=m。此时f(x)在[a，b]上必然取得相同的值f(x)=M。  此