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高等数学竞赛试题 1 答案 １ 高等数学竞赛试题 1 一、填空： 1 ．若 ()?? ??? ≤->-=,x ,a x ,x f x x x 01e 0,arctan e 122sin 是()+ ∞∞ -, 上的连续函数，则 a = － 1 。 2 ．函数 x x y 2sin += 在区间 ?? ? ??? ππ,2 上的最大值为 332+π 。 3． ()=+?--22 d e x x x x 26e 2-- 。 4 ．由曲线 ? ??==+012 2322z y x 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 () 230,, 处的指向外侧的单位法向 量为 1 {} 3205 1 ,, 。 5 ．设函数 ()x,y z z = 由方程 2e =+----x y z x x y z 所确定，则 = z d ()y x x x x y z x y z d d e 1e 1-1+++---- 。 二、选择题： 1 ． 设函数 f (x ) 可导，并且 ()50='x f ，则当 0→?x 时，该 函数在点 0x 处微分 dy 是 y ?的（ A ） （A ） 等价无穷小； （B ） 同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。 2 ． 设函数 f (x ) 在点 x = a 处可导，则 ()x f 在点 x = a 处 不行导的充要条件是 （ C ） （A ）f (a ) = 0， 且()0='a f ； （B ） f (a ) ≠0，但()0='a f ； （C ） f (a ) = 0，且()0 ≠'a f ； （D ） f (a ) ≠0，且()0 ≠'a f 。 3． 曲线 12+-+ =x x x y （ B ） （A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。 4 ．设 ()()x,y x,y f ? 与均为可微函数，且 ()0 ≠'x,y y ? 。已 知()00,y x 是()x,y f 在约束条件 ()0=x,y ? 下的一个极值点，下列 2 选项中的正确者为（ D ） （A ）若 ()000=',y x f x ，则 ()000=',y x f y ； （B ）若 ()000=',y x f x ，则()000 ≠',y x f y ； （C ）若()000 ≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； ≠',y x f y 。 ２ 5 ．设曲面 (){} 0 Σ2 222 ≥=++=,z k z y x x,y,z 是（ B ） （ D ）若()000 ≠',y x f x ，则()000 的上侧，则下述曲面积分不为零的 （A ） ??∑ z y x d d 2 ； （B ） ??∑ z y x d d ； （C ） ?? ∑ x z z d d ； （D ） ??∑ y x y d d 。 三、设函数 f (x ) 具有连续的二阶导数，且 ()0lim = →x x f x ， ()40=''f ，求 ()x x x x f 1 01lim ?? ???? 3 + →。 解：由题设可推知 f (0) = 0 ， ()00='f ，于是有 ()()()22lim 2lim lim 0020 =''='= →→→ x f x x f x x f x x x 。 故 ()()() () ()()()220010e 1ln exp lim 1lim 1lim =?? ??? ??????????? +=?? ????? ??? ??????+=?????? + →→→ x fx x x x f x f x x x x x x f x x f x x f x x f 四、设函数 ()x y y = 2>?? ???=+=?+t ,u u y ,t x t u 。 由参数方程 ()1d e 212ln 11 所确定，求