高等数学（第2版）教学课件 第八章 多元函数.pptVIP

解 z u v x y 型 四、隐函数的微分法 证明 例 解 五、二元函数的极值与最值 (1)二元极值的必要条件 （2）二元极值的充分条件 六、最小二乘法 　　为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 例1 如图，在坐标纸上画出 这些点， 　　因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的 ，使得 在 　　　　处的函数值与实验数据 相差都很小． 解 就是要使偏差 都很小. 因此可以考虑选取常数 ，使得 定义　这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 把　　看成自变量 和 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 在那些点处取得最小值. 即 　　将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和 分离出来，便得 计算得 代入方程组（1）得 解此方程组，得到 这样便得到所求经验公式为 由（2）式算出的函数值 与实测 的有一定的偏差.现列表比较如下： 偏差的平方和 ， 它的平方根 　 ． 　　我们把 称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏． 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 6.5 8.9 12.2 16.6 22.7 31.0 41.9 57.6 24 21 18 15 12 9 6 3 8 7 6 5 4 3 2 1 其中 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻　反应物的量．试定出经验公式 解 由化学反应速度的理论知道， 应是指数函数： 其中 和 是待定常数. 由于 所以仿照例1中的讨论,通过求方程组 的解,把 确定出来. 讨论： 通过计算得 将他们代入方程组（3）得 解这方程组，得 因此所求经验公式为 §8.3 二重积分 一、二重积分的概念 平顶柱体体积=底面积×高 曲顶为平顶. 求曲顶柱体的体积 V =？ 讨论曲顶柱体的体积 曲顶柱体: 平面上的有界闭区域D为底， 以 侧面是以D的边界曲线为准线,母 线平行 轴的柱面所围成的图形. 以连续曲面 为顶， 例如 曲顶柱体体积 V 求法如下： （1）分割: 分别以这些 小区域的边界曲 线为准线， D §8.1 二元函数的定义、极限与连续 一、空间直角坐标系 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 即右手伸直，拇指朝上为 的正方向，其余四指指向为 的正方向，四指弯曲 后指向为 的正方向。 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 空间两点间的距离 设 ) , , ( 1 1 1 1 z y x M 、 ) , , ( 2 2 2 2 z y x M 为空间两点 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 二、二元函数的概念 在社会生活和经济活动中，经常遇到两个或多个变量的情形，如矩形面积 其中 , 分别表示矩形的长和宽，圆柱体的体积 ，其中 ， 分别表示圆柱体的底面半径和高。 二元函数的定义 其中 称为自变量， 称为函数。 与一元函数类似，使二元函数有意义的自变量 的集合，称为二元函数的定义域，记作 。 一元函数的定义域通常是 轴上的区间，而二元函数的定义域通常是 平面上的某个区域，区域一般是由平面上的一条或几条曲线所围成的平面图形，通常用 表示。围成平面区域的曲线称为边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域，可以无限延伸的区域称为无界区域，否则称为有界区域。 D 例 求 的定义域 解：要使函数有意义，必须 即 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 三、二元函数的极限与连续 y x o P 说明： （2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （1）定义中 的方