高等数学（第2版）教学课件 第十二章 无穷级数.pptVIP

例8 判断交错级数 的收敛性. 例9 判断级数 的敛散性，并估计用 代替其和 时所产生的误差． 四、绝对收敛与条件收敛 对于一般项级数 其各项为任意实数，若级数 各项的绝对值所构成的正项级数 收敛，则称级数 绝对收敛； 若级数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛．易知 是绝对收敛级数，而 是条件收敛级数． 定理7 若 收敛，则 必收敛． 例10 判断级数 的敛散性． 例11 为了治病需要，医生希望某药物在人体内的长期效用水平达200 mg，同时还知道每天人体排放25%的药物．试问医生确定每天的用药量是多少？ §12.3 幂级数 一、幂级数的概念 1.定义 形如 的级数，称为关于 的幂级数，其中 都是常数，称为幂级数的系数． 形如 的级数，称为关于 的幂级数． 将 换成 ，这个级数就变为 ． 2.收敛域 幂级数 当 取某个数值 后，就变成一个相应的常数项级数，可利用常数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．若 在点 处收敛，称 为它的一个收敛点；若 在点 处发散，称 为它的一个发散点； 的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域． 例1 判断幂级数 的敛散性． 二、幂级数的收敛性 定理1 （阿贝尔定理） 若幂级数 当 时收敛，则对 的 ，幂级数 绝对收敛．反之，若幂级数 当 时发散，则对一切适合不等式 的 ，幂级数 都发散． 推论 若幂级数 不是仅在 处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数 存在，使得 当 时，幂级数绝对收敛； 当 时，幂级数发散； 当 与 时，幂级数可能收敛也可能发散． 称为幂级数 的收敛半径．再由 处的收敛性，便可确定该幂级数的收敛区间．若只在 处收敛，我们规定它的收敛半径 ；若对任何实数 ，幂级数 皆收敛，则规定其收敛半径 ，这时收敛区间是 ．关于幂级数的收敛半径有如下定理． 定理2 设幂级数 ，若 ；则幂级数的收敛半径为： 　 例2 试求下列幂级数的收敛区间： （1） （2） 三、幂级数的运算 设有两个幂级数 与 分别在区间 及 内收敛，且其和函数为 与 设 ，则在 内有如下运算法则： 1．加法 2．数乘幂级数 设 在区间 内收敛于 ，则对非零常数 ，有 3．乘法运算 　 在 内收敛，且和函数为 ． 4．逐项微分 设 ，收敛半径为 ，则对一切 都有 5．逐项积分 设