四边形中常见辅助线的作法.pdf

儒洋教育学科教师辅导讲义 课 题 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等 于中线或中位线； 另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线， 以达到应用某个定理或造成全等 的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度， 得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可 以得到全等形， 这时辅助线的做法仍会应运而生。 其对称中心， 因题而异， 有时没有中心。 故可分 “有 心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造 两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、 乘积， 仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线， 而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外， 我国明清数学家用面积证明勾股定理， 其辅助线的做法， 即 “割补”有二百多种， 大多数为 “面 积找底高，多边变三边”。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形 .在解决一些和四边形有关的问题 时往往需要添加辅助线 .下面介绍一些辅助线的添加方法 . 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一， 它有许多可以利用性质， 为了利用这些性质往往需要添加辅 助线构造平行四边形 . 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添 辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四 边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3 ）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4 ）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5 ）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 . 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例 1 如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形 OCDE 是平行四边形 . 求证 :OE 与 AD 互相平分 . 分析 :因为四边形 OCDE 是平行四边形 ,所以 OC//ED,OC=DE, 又由 O 是 AC 的中点 ,得出 AO//ED,AO=ED, 则四边形 AODE 是平行四边形