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等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
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等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
【教学目标】
1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念.
2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.
3. 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用.
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管(参见教材图6-1),共堆放了7层,试从上到下列出每层钢管的数量.
教师出示引例,并提出问题.
学生探究、解答.
希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比,建立等差数列模型,进行探究、解答问题,体验数学发现和创造的过程.
新
课
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课
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课
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课
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课
新
课
从上例中,我们得到一个数列,每层钢管数为
4,5,6,7,8,9,10.
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) .
练习一
抢答:下列数列是否为等差数列
1,2,4,6,8,10,12,…;
0,1,2,3,4,5,6,…;
3,3,3,3,3,3,3,…;
2,4,7,11,16,…;
-8,-6,-4,0,2,4,…;
3,0,-3,-6,-9,….
注意:求公差d一定要用后项减前项,而不能用前项减后项.
2.常数列
特别地,数列
3,3,3,3,3,3,3,…
也是等差数列,它的公差为0.公差为0的数列叫做常数列.
3.等差数列的通项公式
首项是a1,公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为
an=a1+(n-1)d.
4.通项公式的应用
根据这个通项公式,只要已知首项a1和公差d,便可求得等差数列的任意项an.
事实上,等差数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个.
例1 求等差数列8,5,2,…的通项公式和第20项.
解 因为a1= 8,d = 5-8=-3,所以这个数列的通项公式是
an = 8+(n-1)×(-3),
即an = -3n + 11.所以
a20 = -3×20 + 11 = -49.
例2 等差数列-5,-9,-13,…的第多少项是-401?
解 因为a1= -5,而且
d = -9-(-5)=-4,
an = -401,
所以
-401= -5+ (n-1)×(-4).
解得 n=100.
即这个数列的第100项是-401.
练习二
(1)求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项.
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.
练习三
在等差数列{an}中:
(1)d =- eq \f(1,3) ,a7 = 8,求a1;
(2)a1 = 12,a6 = 27,求d.
例3 在3与7之间插入一个数A,使3,A,7成等差数列,求A.
解 因为3,A,7成等差数列,所以
A-3 = 7-A,2A
解得A=5.
5.等差中项的定义
一般地,如果a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a与b的等差中项.
6.等差中项公式
如果A 是a与b的等差中项,则
A = eq \f(a + b,2) .
这就表明,两个数的等差中项就是它们的算术平均数.
7.一个结论
在等差数列a1,a2,a3,…,an,…中,
a2 = eq \f(a1 + a3,2) ,
a3 = eq \f(a2 + a4,2) ,
……
an = eq \f(an-1 + an+1,2) ,
……
这就是说,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
练习四
求下列各组数的等差中项:
(1)732与-136;
(2) eq \f(49,2) 与42.
例4 已知一个等差数列的第3项是5,第8项是20,求它的第25项.
解 因为a 3 = 5,a 8 = 20,根据通项公式得
EQ \b\lc\{(\a \al \co1\vs8 (a1+(3-1)d = 5,a1+(8-1)d = 20))
整理,得
EQ \b\lc\{(\a \al \co1\vs8 (a1+2d = 5,a1+7d = 20))
解此方程组,得a1 = -1,d = 3.
所以
a25 =
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