微专题空间中的翻折问题.docx

空间中的翻折问题 翻折问题认识 翻折问题就是将平而图形按某条直线折成立体几何图形，再对立体图形中的线而问题和一些几何量进行讨 论和计算，翻折问题以几何体为载体考査空间位置关系，突出转化思想和空间想象能力，逻辑思维 能力。解决这类问题的关键就是根据折痕，准确把握平而图形翻折前后的"变”与"不变”。 翻折过程中的规律： 理解翻折过程中的“变”：①过程是连续渐变的； 点和线的变化； 角度、长度等几何度量的变化： 理解翻折过程中的不变：①翻折前后，仍然在一个平而上的元素性质不发生改变； ②翻折过程中，与折痕垂直的线段垂直关系不改变，与折痕平行的线段，平 行关系不改变： 掌握翻折过程中的特殊位置：①翻折的起始位垃； ②翻折过程中，直线和平而平行和垂直的特殊位置： 典型例题 题型一：基本概念 1?关于折叠问题，下列说法正确的是（） 翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变； 翻折前后同在一个平而内的几何图形的度量结果不变： 翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能不变； ?翻折前后不同在一个平而内的几何元素的位置关系肯左变化。 A.①②③④ B.①②④C.①②③④ D.②③④ 答案：A 如图所示：在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中 点，将AABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，则GH与IJ所成的角的度数为 答案：60。 解析：在平而图形中HG与DF平行，IJ与DB平行，折叠后平行程度不变，所以DB与DF所 成的角就是异而直线GH、IJ所成的角。因为三角形ABC为正三角形，所以为60。。 题型二：翻折中的证明。 2.如图，在直角三角形ABC中，VC= 90o, D、E分别为AC、AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ΔABC 沿DE折起到AA]DE的位這，使A1FlCD,如图. 求证：DEIl平面 AICB. 求证：AIFIBE C B 解析：(1)因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DEllBC.又因为DE0平而AiCB, CBU平面A1CB,所以DEll 平面AICB (2)由已知得AC丄BC且DEilBG所以DE丄AC.又因为DEIAIDZDEICD,且AιD∩CD=Dz所以DE丄平而AlDC而 AlFU平而AlDC,所以DE丄AiF.又因为AIFICDzCD∩DE=Dz所以AIF丄平而BCDE,又BEU平而BCDE,所以AiFlDE. 题型三：翻折中的计算，求值。 2?如图(24)所示，一个边长为4的正方形ABCD, E. F分别为BC、CD的中点，将正方形沿AE、AFX EF折叠起来，使B、CX D重合于P点(如图2-2)＞则三棱锥P-AEF的体积为? 答案：? S 解析：三棱锥 P-AEF 是由正方形折叠而来的所以 ZEPF=ZECF =90°, ZAPE=ZABE=900z ZAPF=ZADF=90°,所以 APlPEzAP丄PF?又 PEnPF=RPEfFU平而 PEE 所以 APj- T Hlj PEE所以 Vp-A≡F=VA-PEF=~?^psf?AP~ × - × 2 × Δ 3?如图(3-1),在矩形ABCD中，AB=2zBC=l,E是DC的中点：如图(3?2)将ADAE沿AE折起，使平面DAE丄 平而ABCE,则异而直线AE和DB所成角的余弦值为？ E3-1 E 3-1 3-2 3-2 A B 3-3 解析：取AE得中点6连接DO,BO.延长EC到F使EC=CF＞连接BF, DF, 0F,则BFIIAE,所以乙DBF或它 的补角为异而直线AE和DB所成的角。因为DA=DE=I, ZADE=90°,所以DOIAE 且AO=DO=-.在AABO中，根据余弦左理得COS乙OAB=COS45°'°°解得BO=—.IriJ理可得OF=泛 2 2A0AB 2 2 2 因为平而DAE丄平而ABCE,平而DAEn平而ABCE=AEZDOU平而DAEzDO丄AE, 所以Do丄平面ABCEz因为BOU平而ABCE,所以Do丄B0,所以BD2=BO2+DO24 + |=3,所以BD=√3. 同理可得DF=√7,又因为BF=AE=√2z所以在ΔDBF中，COS乙DBF=艺嘉罟匸=?二;=一乎.因为异面直线 所成角的取值范围为（0, f],所以异而直线AE和DB所成的角余弦值为乎? （2018东北三校联考）如图（4-1）,已知四棱锥是由直角梯形ABCS沿着CD折叠而成的，其中 SD=DA=AB=BC=I,ADIIBC,AB丄AD,且二而角 S-CD-A 的大小为 120。? （1） 求证：平面ASD丄平而ABCD. （2） 设侧棱SC和底面ABCD所成的角为1求6的正弦值。 解析：（1） ilE明：由题意可知CDISDZCDlAD.因为ADflSD二D所以