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曲线论基本定理 一．一般结果 曲线论基本定理　给定区间 I ? (a, b) 上的连续可微函数`?(s) > 0 和连续函数`?(s) ，则在 E3 中 ①　存在弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) ，使其曲率函数 ?(s) ?`?(s) ，并且其挠率函数 ?(s) ?`?(s) ； ②　上述曲线 C 在合同意义下是唯一的． 曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行． 曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果． ——只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet公式． 一．一般结果 因此，下面将不加证明地引用关于齐次线性常微分方程组的解的存在唯一性定理． 围绕着存在性，首先建立并考察联立的两个齐次线性常微分方程组 联立方程组中所包含的未知向量函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 可以理解成由12个普通未知函数而构成． 联立方程组在给定的初值条件下有满足初始条件的唯一解（且在整个区间上延拓有定义）． 一．一般结果 引理1　给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0?I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} ? {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) 的Frenet标架场． 首先证明所讨论的解函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 构成单位正交标架场． 再证明参数曲线 C: r ? r(s) 为一条弧长 s 参数化曲线． 进一步证明解函数组 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 是曲线 C 的Frenet标架场． 一．一般结果 引理1　给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0?I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} ? {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) 的Frenet标架场． 从上述证明过程可以看到，确定曲线的过程可以表现为确定其附属的标架场的过程；从中可以体会标架空间在几何学中的合理运用． 一．一般结果 引理1　给定单位正交右手标架 {r0; T0, N0, B0} ，在曲线论基本定理条件下任取一点 s0?I ，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件 {r(s0); e1(s0), e2(s0), e3(s0)} ? {r0; T0, N0, B0} 的唯一解恰好为一条弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) 的Frenet标架场． 曲线论基本定理　给定区间 I ? (a, b) 上的连续可微函数`?(s) > 0 和连续函数`?(s) ，则在 E3 中 ①　存在弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) ，使其曲率函数 ?(s) ?`?(s) ，并且其挠率函数 ?(s) ?`?(s) ； ②　上述曲线 C 在合同意义下是唯一的． 曲线论基本定理的证明 引理1说明存在性结论①成立．以下证明唯一性结论②. 设两条曲线 C: r ? r(s) 和 C*: r ? r*(s) 同时以 s 为弧长参数并具有相同的曲率函数 ?(s) ? ?*(s) > 0 和相同的挠率函数 ?(s) ? ?*(s) ；要证这两条曲线合同． 任取定点 s0?I ，这两条曲线在此对应点的Frenet标架分别记为 {r(s0); T(s0), N(s0), B(s0)} 和 {r*(s0); T*(s0), N*(s0), B*(s0)} ，则两个标架之间相差的正交变换对应于一个刚体运动 ? : E3?E3 ． 由于弧长、曲率和挠率在刚体运动下都不变，故不妨设 C* 在 ? 下的像 ?(C*) 在点 s0 处的Frenet标架重合于 {r(s0); T(s0), N(s0), B(s0)} ． 再由引理1，可知 ?(C*) 与 C 重合；此即 C* 与 C 合同，结论得证．　　□ 一．一般结果 曲线论基本定理说明，无逗留点曲线的曲率 ? > 0 和挠率 ? 分别作为弧长 s 的函数而共同确定了不计位置意义下的唯一一条曲线；因而，函数组 ? ? ?(s) > 0 , ? ? ?(s) 通常称为曲线的内在方程或自然方程． 一般而言，从内在方程出发而