数学建模最优化模型教学资料.ppt

例：森林救火费用最小问题 在森林失火时，应派多少消防队员去救火最合适？派的队员越多，灭火的速度越快，火灾造成的损失越小，但救援的开支会增大。我们的问题是：派出多少队员救火，才能使火灾损失费与救火费用之和最小？ 模型的假设 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比，烧毁面积与失火时间的长短有关。 设失火时刻 ，开始救火的时刻为 ，火被扑灭的时刻为 。 时刻森林烧毁的面积为 ， 为烧毁单位面积森林的损失费， 则火灾造成的损失费为 。 易见 表示单位时间内烧毁的森林面积 当 时， ；设当 时， 得其最大值 。 设在 中， 为 的线性函数，其斜率为 ； 称为火势蔓延速度；在 中， 为 的线性函数，其斜率为 ，其中 为救火队员人数， 为每个队员的平均灭火速度。 每个救火队员单位时间的费用为 ，一次性支出的费用为 ，于是得到救火费用为 不考虑森林地形分布的差异，同时也不考虑风向和风速的影响，并且一切救火设备和救火人员都正常工作。 模型的建立和求解 首先作图分析： 由图和前述的假设可知：森林烧毁面积 等于图中三角形 的积，即 ，而 ,所以 ，而火灾的损失费 与救火费用 之和为： 所以森林救火费用最小问题的数学模型为： 上述问题是一个无约束的非线性规划问题，其最优解 可用微分方法求得（即一阶导数为零的点）。因此，应派出的救火队员的最合适的人数为( 必须为正整数)： 一般优化模型的总结 说明： 确定目标 建立目标函数； 分析因素 对影响目标函数变化的各个因素进行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的因素可以假设掉。 确定决定性因素 确定影响问题变化的主要因素（利用相关度），同时达到简化问题的作用，为模型的建立和求解奠定基础。 分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作用，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。（统计回归中的交互项的引入）