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第1讲 等差数列与等比数列
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1.等差数列与等比数列基本量的运算
第8题
第9题
数列是江苏高考考查的热点.考查的重点是等差、等比数列的基础知识、基本技能、基本思想方法.一般有两道题,一道填空题,一道解答题.在填空题中,突出了“小、巧、活”的特点,属中高档题,解答题主要与函数、方程、推理证明等知识综合考查,属中等难度以上的试题,甚至是难题,多为压轴题.
2.等差数列与等比数列的综合运用
第20题
第20题
1.必记的概念与定理
(1)an与Sn的关系
Sn=a1+a2+…+an,an=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1, n=1,,Sn-Sn-1, n≥2.))
(2)等差数列和等比数列
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=常数(n≥2)
eq \f(an,an-1)=常数(n≥2)
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1(q≠0)
判定方法
(1)定义法
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n≥1,n∈N*)?{an}为等差数列
(3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)?{an}为等差数列
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B为常数)?{an}为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法:aeq \o\al(2,n+1)=an·an+2(n≥1,n∈N*)(an≠0) ?{an}为等比数列
(3)通项公式法:an=c·qn(c、q均是不为0的常数)?{an}为等比数列
判定方法
(5){an}为等比数列,an0?{logban}为等差数列
(4){an}为等差数列?{ban}为等比数列(b0且b≠1)
2.记住几个常用的公式与结论
(1)等差数列的性质
①在等差数列{an}中,an=am+(n-m)d,d=eq \f(an-am,n-m);
②当公差d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+eq \f(n(n-1),2)d=eq \f(d,2)n2+(a1-eq \f(d,2))n是关于n的常数项为0的二次函数.
③若公差d0,则数列为递增等差数列,若公差d0,则数列为递减等差数列,若公差d=0,则数列为常数列.
④当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.
⑤若{an}是等差数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列.
⑥在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd;项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an),S奇∶S偶=n∶(n-1).
⑦若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且eq \f(An,Bn)=f(n),则eq \f(an,bn)=eq \f((2n-1)an,(2n-1)bn)=eq \f(A2n-1,B2n-1)=f(2n-1).
⑧“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和.法一:由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0,an+1≤0))(或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0,an+1≥0)))确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n∈N*.
⑨如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
(2)等比数列的性质
①在等比数列{an}中,an=amqn-m,q=eq \r(n-m,\f(an,am));
②当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特别地,当m+n=2p时,则有am·an=aeq \o\al(2,p).
③若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn ,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是等比数列.
当q=-1,且n为偶数时,数列Sn ,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数列{0,0,0,…},它不是等比数列.
④若a10,q1,则{an}为递增数列;若a10,q1, 则{an}为递减数列;若a10,0q1,则{an}为递减数列;若a10,0q1, 则{an}为递增数列;若q0,则{an}为摆动数列;若q=1,则{an}为常数列.
3.需要关注的易错易混点
(1)用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,
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