微专题不等式性质.docVIP

一、内容回顾 1．两个实数大小的比较 (1)作差法：设a，b∈R，则a>b?a－b>0，a<b?a－b<0. (2)作商法：设a>0，b>0，则a>b?eq \f(a,b)>1，a<b?eq \f(a,b)<1. 2．不等式的性质 性质1：a>b?b<a (对称性)． 性质2：a>b，b>c?a>c　(传递性)． 性质3：a>b?a＋c>b＋c (可加性)． 性质4：a>b，c>0?ac>bc　；a>b，c<0?ac<bc (可乘性)． 以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质． 性质5：a>b，c>d?a＋c>b＋d (加法法则)． 性质6：a>b>0，c>d>0?ac>bd (乘法法则)． 性质7：a>b>0，n∈N*? an>bn (乘方法则)． 性质8：a>b>0，n∈N*，n≥2?eq \r(n,a)>eq \r(n,b) (开方法则)． 性质9：ab>0，a>b?eq \f(1,a)<eq \f(1,b) (倒数法则)． 二、典型例题 题型一：不等关系式的建立 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人人数满足的关系式是________． 解析：依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，故所满足的不等式组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤200，,x，y∈N*.))答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤200，,x，y∈N*)) 题型二 解不等式 （1）分式不等式 2.关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵ ∴ ∵不等式的解集是 ∴用数轴表示如图： ∴，故选C （2）指数不等式 3.求不等式中的取值范围。 【解析】 由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下： 当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增， ∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3； 当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减， ∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3； 综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）； 当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）． （3）对数不等式 4.已知函数，其中且． （1）若，求满足的集合． （2）若，求的取值范围． 【解析】 （）当时，， 由得， ∴，即， 解得或， ∴满足条件的集合为． （）由题意得， ①当时，， ∴，得，矛盾，舍去， ②当，， ∴， ∴，符合题意。 综上可得． ∴实数的取值范围为。 （3）题型二：比较两个数(式)的大小 （1）作差比较法 5.已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小． 【解法1】作差法比较大小， ，,,所以p-q, 解法2 作商比较法 ，所以 （3）构造函数法 6.【2017年高考·山东卷】若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋eq \f(1,b)<eq \f(b,2a)<log2(a＋b) B.eq \f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq \f(1,b) C．a＋eq \f(1,b)<log2(a＋b)<eq \f(b,2a) D．log2(a＋b)<a＋eq \f(1,b)<eq \f(b,2a) 解法1作差法：因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1,0<b<1，所以a＋eq \f(1,b)＝a＋a＝2a>2，log2(a＋b)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))>log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(a·\f(1,a))))＝log22＝1，eq \f(b,2a)＝eq \f(1,a·2a)<1.可知eq \f(b,2a)最小．故选B. 解法2：构造函数法 因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1,0<b<1.构造函数f(x)＝x－log2x(x>2)，则f′(x)＝1－eq \f(1,xln2).所以xln2>2ln2＝ln4>1，所以eq \f(1,xln2)<1，此时f′(x)>0，所以 f(x)在(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(2)＝1>0，所以x>log2x.又ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，所以1<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，所以a＋b>2.所以2a>log22a>log2(a＋b)，即log2(a＋b)<2a＝a＋eq \f(1,b).又eq \f(b,2a)＝eq \f(1,a·2a)<1，log2(a＋b)>log22＝1，所以