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专题10 导数及其应用(理科)
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目录 TOC \o 1-3 \h \z \u
常考点01 导数的几何意义(切线方程) 1
【考点总结与提高】 2
【变式演练1】 2
常考点02 利用导数研究函数的单调性 3
【典例2】 3
【考点总结与提高】 4
【变式演练2】 4
常考点03 利用导数研究函数的极值、最值 5
【典例3】 5
【考点总结与提高】 7
【变式演练3】 8
常考点04 利用导数研究函数的图像 8
【典例4】 9
【考点总结与提高】 10
【变式演练4】 10
常考点05 利用导数研究函数的零点 10
【典例5】 10
【考点总结与提高】 11
【变式演练5】 12
【冲关突破训练】 13
常考点归纳
常考点01 导数的几何意义(切线方程)
【典例1】
1.(2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ))函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】1.B 2.
1.,,,,
因此,所求切线的方程为,即.
故选:B.
2.由题,当时,,故点在曲线上.
求导得:,所以.
故切线方程为.故答案为:.
【考点总结与提高】
求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0, y0),求y=f (x)过点P的切线方程:求出切线的斜率f ′(x0),由点斜式写出方程;
(2)已知切线的斜率为k,求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0, y0),通过方程k=f ′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程;
(3)已知切线上一点(非切点),求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0, y0),利用导数求得切线斜率f ′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,最后由点斜式或两点式写出方程.
(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率,再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0),最后写出切线方程.
(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线,P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P,P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时,应首先检验点P是否在已知曲线上.
【变式演练1】
1.设曲线在点(0,0)处的切线方程为,则a=
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+
【答案】1.D 2.D
【解析】1.,∴,∴a=3.故答案选D.
2.设直线在曲线上的切点为,则,
函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,
由于直线与圆相切,则,
两边平方并整理得,解得,(舍),
则直线的方程为,即.故选:D.
常考点02 利用导数研究函数的单调性
【典例2】
1.若函数在上单调递增,则的取值范围是
A. B. C. D.
2. (2021年卷甲理科第21题(1))已知且,函数.
(1)当时,求的单调区间;
【答案】1.C 2.(1)上单调递增;上单调递减;
【解析】1.对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得.故选C.
2.(1)当时,,
令得,当时,,当时,,
∴函数在上单调递增;上单调递减;
【考点总结与提高】
1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式()在给定区间上恒成立.一般步骤为:
(1)求f ′(x);
(2)确认f ′(x)在(a,b)内的符号;
(3)作出结论,时为增函数,时为减函数.
注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.
3.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;
(3)若已知在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参
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