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论形式主义的数学形式主义在数学新公理和关于集合论多宇宙观的研究 摘要：文章对裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中的若干观点提出挑战，试图论证：作为数学哲学的形式主义是无法做到彻底地本体论中立的，一些形式主义者对元数学的特别关注就促进数学实践而言的作用是有限的。特别地，作者结合对一些新进研究成果及其背后想法的梳理试图展示：形式主义在探究数学新公理和关于集合论多宇宙观的研究中是缺席的；反过来，集合论多宇宙观的有关研究成果则显示出其明显超出形式主义的价值。 什么样的数学研究是值得做的，什么样的数学定理是好的数学研究成果?这显然不是一个数学问题。但数学工作者对这个问题的看法无疑会影响他的研究志趣，进而影响他的具体工作，而数学家共同体对这个问题看法的分布则会影响数学这门学科的发展趋势。按照典型的形式主义数学哲学的解读，所有的数学研究都可以被看作是在某个给定的形式化公理系统中做证明。而一般认为，该公理系统的定理集是能行可枚举的（详见后文），即，存在一个计算机程序来枚举该公理系统所有可能的定理。然而，几乎没有人认为数学工作应该是这样的。即使利用程序辅助寻找证明，数学工作者也至少需要解读、挑选有意义的结果。因此，这个并非数学问题的问题却与几乎所有数学工作者的研究工作密切相关，难以回避。如果承认对该问题以及相关问题的回答并非完全主观任意，而是存在主体间就这些问题相互交流、考量、评判并形成共识的空间，那么数学哲学便是可能的了。从早期以希尔伯特为代表的经典形式主义到科恩等人关于公理化集合论的形式主义，形式主义在现代数学哲学的讨论中一直在场。然而，自从哥德尔的两个不完全性定理的发现揭示希尔伯特形式主义原版的研究纲领不可实现，形式主义在严肃的数学哲学讨论中始终处于相对弱势的地位。尽管如此，形式主义对数学工作者仍然有着强烈的吸引力，尽管这一吸引力主要来自可以回避进一步的追问。正如Reuben Hersh写道：“典型的‘数学工作者’是工作日的柏拉图主义者，又是星期日的形式主义者。”集合论多宇宙观（set-theoretical multiverse view）是近年来兴起的区别于集合论单宇宙观（universe view）的集合论哲学观点。后者是数学柏拉图主义在集合论被广泛接受为数学基础这一语境下的具体实现，即认为存在唯一典范的集合概念以及由满足这一概念的所有集合组成的集合论宇宙，集合论语言中的任何一则命题关于这个集合论宇宙的描述要么是真的要么是假的。集合论多宇宙观则基于人们从构造内模型、力迫扩张及非标准模型以及在这些模型中“工作”的强健经验，宣称存在许多不同的集合概念或集合论宇宙。笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证，集合论多宇宙观要么是一种形式主义，要么是与传统柏拉图主义或集合论单一宇宙观相容的裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中试图把形式主义重新诠释为一种本体论中立的，并且有助于推动数学实践的数学哲学立场在本文中，笔者试图挑战裘江杰的上述观点。在第一节中，笔者拟论证数学哲学的形式主义是无法真正做到本体论中立的。在第二节中，笔者将针对性地讨论形式主义就推动数学实践而言的局限性。在除去结论的最后一节中，笔者将结合一些新结果再次审视围绕集合论多宇宙观的集合论研究与有关数学哲学立场的关系，试图展现集合论多宇宙观独立于形式主义的价值。一、形式主义不是本体论中立的在《集合论多宇宙观与形式主义》中，裘江杰承接科里（Haskell Curry）的形式主义立场，认为形式主义应该是本体论中立的，它不在形而上学上做任何假设，并且形式主义并不拘泥于特定的形式化系统。特别地，他们认为形式主义不应该受到希尔伯特所谓有穷数学的掣肘。但这种形式主义仍然要求形式系统满足一定的可接受条件，其中包括一致性，却不要求一个一致性证明。此外，裘江杰和科里都认为关于这些形式系统的“元数学”研究是重要的。在本节中，笔者首先试图论证任何有意义的形式主义都无法做到真正的本体论中立。同时，笔者也试图解释，希尔伯特关于形式主义“元数学”必须是有穷数学的限制性立场为何不能任意放宽。在后人的解释中，一般认为希尔伯特的形式主义不是本体论中立的。他将数学分割为可靠的有穷数学（finitary mathematics）以及其一致性有待证明的经典数学，后者包括康托尔发明的集合论。的确可以说，希尔伯特本人关于包括集合论在内的经典数学的本体论问题试图展现一种中立的立场，或者说试图悬置抽象实体或无穷集合是否存在的问题。同时，希尔伯特捍卫数学工作者在“康托尔的乐园”中自由探索的价值，其手段就是将这部分数学形式化，并在可靠的有穷数学中证明这个形式化了的公理系统是一致的。这就是所谓的希尔伯特纲领（Hilbert’s Program）。我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完全性定理而注定无法