圆锥曲线中最值问题条件转化的策略.docVIP

PAGE PAGE 1 圆锥曲线中最值问题条件转化的策略 一、焦点间的相互转化（核心用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） 1.设椭圆（ab0），F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P（x0,y0）为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点. ①若定点P（x0,y0）在椭圆内部，则2a-≤+≤2a+ ②若定点P（x0,y0）在椭圆外部，则≤+≤2a+ 2.设双曲线（a0,b0），F1,F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0,y0）为平面内的一个定点，M为双曲线上的任意一点. ①若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则-2a≤ +，最大值不存在 ②若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则≤ +，最大值不存在. 1、椭圆 【例1】P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值. 【答案】12,8. 【分析】欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求.由此想到椭圆第一定义︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1为椭圆的左焦点. oF o F2 F1 M1 M2 【解析】︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知–︱PF1︱︱MP︱-︱MF1︱︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号，M与M2重合时取左等号.因为2a=10, ︱PF1︱=2所以（︱MP︱+︱MF2︱）max=12, （︱MP︱+︱MF2︱）min=8 【例2】P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值. 【答案】最大值是10+，最小值是 【分析】点P在椭圆外PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同例1. 【解析】︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱.∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是10+，最小值是. OPAF2F1yxP/【例3 O P A F2 F1 y x P/ A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】连接并延长交椭圆是椭圆上一动点，连接 ∵， 而， ∴， ∴ （当与重合时取“=”号） 【例4】已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，求的最大值与最小值. 【解析】由题意，点即椭圆右焦点（如图三），设椭圆左焦点，则， 由椭圆定义可知，则， 显然，当、、三点共线时，， 所以，. 2、双曲线 【例5】已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为　 　． A A P/ P Y F F’/ O 【答案】9 【解析】∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0）， ∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立． 【例6】P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】如图，两定圆的圆心、即双曲线的左右焦点，由双曲线定义可知. 又，， 所以 . MPNF M P N F1 F2 x y 已知以原点为中心的双曲线．如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 【解析】设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点， 所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而 当在线段CD上时取等号，此时的最小值为 直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故 由方程组 解得 所以点的坐标为； 3、抛物线 【例7】已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 . 【解析】由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. OF(1,0) xA(3,1)y Q P 如图，, 焦点F(1,0) O F(1,0) x A(3,1) y Q P 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 . 【感悟】利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法.在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易.又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义. 二、焦点与相应