同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页.docx

第 第 PAGE #页 第 第 PAGE #页 同济第六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 “ 设 A=(q. -5).(5、畑)?B=[—10.3).写出 AiB.AcB.AB 及 A\(A B)的表达 式. 解 A_.B=(「:. 3)_.(5 .：〉 A - B 斗-10 .-5). A B =( 10) 一 (5 ,「). A\(AB)=[-10 .-5). 2、设A、B是任意两个集合.证明对偶律：(A^ B)C=AC uBC , 证明因为 x (A B)C x「A B二 x A 或 x — B二 x AC 或 x BC 二 x AC BC 所以 A B)^AC BC . .设映射f ：X ＞丫 A X.B X ?证明 f(A_.B)=f(A)_.f(B) f(A 一 B)二 f(A) - f(B). 证明因为 y f(A _ B)二 x A _ B .使 f(x)二y 二(因为 x A 或 x B) y f(A)或 y f(B) 二 y f(A)_ f(B). 所以 f(A_ B)#(A)_.f(B) ? ⑵因为 y f(A 一 B)二 x A B 使 f(x)二y二(因为 x A 且 x B) y f(A)且 y f(B= y f(A厂 f(B) ■ 所以 f(A B) f(A) f(B), .设映射f ：X小若存在一个映射g Y 使g f =I^ f ^Iy -其中lx、 Iy分别是X、丫上的恒等映射.即对于每一个x X有lx x=x?对于每一个y Y有 lYy=y .证明f是双射?且g是f的逆映射：g=f ■ 证明 因为对于任意的y Y .有x=g(y) X 且f(x)=f[g(y)] =ly y二y.即Y中任意元 素都是X中某元素的像.所以f为X到丫的满射? 又因为对于任意的 X1=x2 ?必有 f(X1)吋(x2)?否则若 f(X1)=f(X2)： g[ f(X1)]=g[f(x2)] =■ X1 =X2 因此f既是单射.又是满射.即f是双射 对于映射g 丫―X 因为对每个y Y有g(y)=x X 且满足f(x)=f[g(y)] =lyy=y 按逆映射的定义g是f的逆映射. .设映射f ：X》丫 A X ?证明 f — (f(A))二 A 当f是单射时.有f J(f(A)A . 证明(1)因为 x已A二 f(x)=y^f(A)二 f d(y)=x*(f(A)), 所以 f」(f(A))二A. 由(1)知 f J(f(A)^A. 另一方面.对于任意的x f，(f(A))=存在y f(A).使f _1(y)=x : f(x)二y .因为 y f(A)且f是单射.所以x A、这就证明了 f，(f(A)) A因此f1(f(A)A . 6“求下列函数的自然定义域： 解由3x 2—0得x -2 .函数的定义域为[-￡，G 1 ⑵厂出 2 解 由1^工0得x宜1,函数的定义域为(?、-1).(-1. 12(1 .,p), ⑶ yJ-J-x2 x 2 解 由x=0且1-x 0得函数的定义域D珂-1 ? 0)u(0?1]， (4)厂2 解 由4-x2》0得|x|2?函数的定义域为(-2.2). y 二sin、x 解由x—0得函数的定义D二[0「：：)? y^a n(x 1) Tt j[ 解 由x V— (k=0 ? _1 . _2 .…)得函数的定义域为x=k「： ?二T (k=0. -1. -2?… y=arcs in(x-3) 解 由^-3^1得函数的定义域D=[2 . 4]? 2 2 第4页 2 2 第4页 y 二、、3「x arctan1 x 解 由且x知得函数的定义域 D=(q. 0Q(0.3), y=ln (x 1) 解由x 1 0得函数的定义域D=(-1「：) 1 y =ex . 解 由x=0得函数的定义域D=(0)一(0.=), 7 .下列各题中.函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ f(x)=lg x2 g(x)=2lg x ⑵ f(x)=x g(x)?x2 ⑶ f(x)=3,x°-x3 g(x)=x3x-1 . 2 2 f(x)=1 .g(x)=secx-tanx . 解(1)不同.因为定义域不同 ⑵不同，因为对应法则不同 x：：0时.g(x)=-x 相同.因为定义域、对应法则均相相同. ji不同，因为定义域不同， ji |sin x| 设? |sin x| 设?(x) = 3 .求「(一)「().「(?)」(-2).并作出函数 y“:(x) 凶一3 6 4 4 的图形 =|s in =|s in ( =|sin(-：)|=乎.「2)=0 . .试证下列函数在指定区间内的单调性 ⑴厂起.(严J； y=xF n x. (0、畑)， 证明(1)对于任意的X1.x2E(q、1).有1*A0.1-