排队问题数学建模.pdf

第九届“新秀杯” 校园数学建模竞赛 摘要 医院有一位医生值班， 经长期观察， 每小时平均有 4 个病人， 医生每小时可 诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson流，诊断时间服从负指数分布。根据题目所 给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型， 因此需要用到排队理论来 求解这些问题。本题需要用到排队理论中最简单的 M/M/1 / ∞/ ∞模型，通过对病 人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。 针对问题一， 通过分析任意时刻 t 内到达的病人数为 n 的概率，使用数学期 望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。由题目给出条件病人的 到来服从参数为 λ的泊松分布，诊断时间服从参数为 μ负指数分布， 可以得出病 人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。以及分析该医院的服务强度， 可以粗略的分析该科室的工作状况。 针对问题二，在问题一的条件基础下， 要求 99%的病人有座位。可以先假设 出座位个数， 由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立， 不可能同时到达两批 病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系， 考虑病人数不同时， 有座位的概 率不同。所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于 0.99，从而反推 出所需座位数。 针对问题三， 分析问题可得， 需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病 人到来数可以得出平均每天医院到来数。 根据问题一结论， 可以得出平均看病所 花时间，从而求出每天的平均损失。 针对问题四， 只需要利用问题一， 问题二， 问题三的结论并改变医生每小时 诊断时间，嵌套进来就能求解。 关键字： 排队理论 M/M/1 / ∞/ ∞模型 数学期望 Poisson流 负指数分布 一、问题提出 某单位医院的一个科室有一位医生值班， 经长期观察， 每小时平均有 4 个病 人，医生每小时可诊断 5 人，病人的到来服从 Poisson流，诊断时间服从负指数 分布。 (1) 试分析该科室的工作状况： (2) 如要求 99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？ (3) 如果该单位每天 24 小时上班，病人因看病 1 小时而耽误工作单位要损失 30 元，这样单位平均损失多少元？ (4) 如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断 6 人，单位每天可减少损失多 少？可减少多少座位？ 二、模型的准备 根据题目所给信息， 可以很明显看出本题是单服务台的排队模型， 日常生活 中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象， 如旅客购票排队， 市内电话占线等现 象。该模型显著特点是： 服务设施是一个或者多个， 需要被服务的人是无限制的， 因此被服务者需要等待一段时间， 因此会出现排队现象， 被服务者的到来是完全 随机的。因此排队论又称为随机服务系统理论， 它是通过对服务对象到来及服 务时间的统计研究，得出这些数量指标 (等待时间、排队长度、忙期长短等 )的统 计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，