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高 等 数 学 教 案 第十章 重积分 章节题目 课 型 理论课 §10-1 二重积分的概念及性质 教学目的 理解二重积分的概念，了解二重积分性质。 重 点 二重积分的概念，性质 难 点 如何运用二重积分的性质去解决问题 参考书目 同上 教 具 教学后记 教 学 过 程 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 §10-1 二重积分的概念及性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 2. 平面薄片的质量 （二）二重积分的定义 1．定义： 2. 几个事实 二、二重积分的性质 三、二重积分的几何意义 （三）、 本次课内容小结 （四）、布置作业 1 第十章 重积分 §10-1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 （一）引例 1. 曲顶柱体的体积 设有一空间立体 , 它的底是 xoy 面上的有界区域 D , 它的侧面是以 D 的边界曲线为 准线 , 而母线平行于 z 轴的柱面 , 它的顶是曲面 z f (x.y) 。 当 (x, y) D 时 , f (x, y) 在 D 上连续且 f ( x , y ) 0 , 以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积 V 可以这样来计算 : (1) 用任意一组曲线网将区域 D 分成 n 个小区域 1 ， 2 ， ， n ，以这些小区域的 边界曲线为准线 , 作母线平行于 z 轴的柱面 , 这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成 n 个小曲 顶柱体 1 ， 2 ， ， n 。 （假设 i 所对应的小曲顶柱体为 i , 这里 i 既代表第 i 个小区域 , 又表示它的面积值 , i 既代表第 i 个小曲顶柱体 , 又代表它的体积值。 ) 图 10-1-1 n 从而 V i ( 将 化整为零 ) i 1 (2) 由于 f ( x, y) 连续 , 对于同一个小区域来说 , 函数值的变化不大。因此 , 可以将小曲顶柱 2 体近似地看作小平顶柱体 , 于是 i f ( i i ) i ( ( i i ) i ) ( 以不变之高代替变高 , 求 i 的近似值 ) (3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 n V f ( i i ) i i 1 (4) 为得到 V 的精确值 , 只需让这 n个小区域越来越小 , 即让每个小区域向某点收