课题数列在分期付款中的应用.doc

哈密石油高级中学 2007年远程研修高中数学作业 (八)（8 月 18 日） 《数列在分期付款中的应用》教学设计 教学目的： 1.使学生了解单利及复利的计算 ; 2. 使学生掌握等比数列前 n 项和公式在购物付款方式中的应用 ; 3. 培养学生审题的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力 ; 教学重点： 引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究 教学难点： 分期付款的探究应用 教学设计 ： 一 . 故事引入： .幽默故事 : 一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇 . 美国老太太说 , 她住了一辈子的宽敞房 , 也辛苦了一辈子 , 昨天刚还清了银行的住房贷款 . 而中国老太太却叹息地说 , 她三代同堂一辈子 , 昨天刚把买房的钱攒足 . 指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物 , 分 期付款已深入我们生活 . 但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务， 究竟选择什么样的方式好呢？ 二 . 了解单利、复利的有关概念及计算 1.单利计算 (整存整取或活期储蓄 ) 利息 = 本金×利率×存期 本利和 =本金× (1+ 利率 ) ×存期 应纳税额 =利息全额×税率 例：存期 3 年的年利率为 3.69%, 计算存入 5000 元在 3 年到期时的本利和 . 2. 复利计算 银行按规定在一定时间结算利息一次 , 结息后即将利息并入本金 , 这种计算利息的方法叫做复利 . 例如 : 若设第 1 期期初存入金额 A, 每期存款的本金及其利息自动转存到下期 , 每期的利率为 p, 那么到 n 期期末将款全部取出时 , 本利和共有多少呢 ?( 不扣税款 ) 分析推导公式为 : 本利和为 A(1 p)n 例 : 某人向银行贷款 10 万元 , 若银行贷款年利率为 10%,按复利计算 3 年后该人应向银行还款多少 ? 注 : 单利与复利的区别在于上一期的利息是否计入下一期存款的本金 . 设计意图：分期付款问题离不开银行利率利息的算法，因此这作为课前分析是必要的 . 三 . 提出问题： 某学生的父母欲为其买一台电脑售价为 1万元，除一次性付款方式外， 商家还提供在 1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案 ( 月利率为 1%)： ⑴购买后 2个月第 1次付款 , 再过2个月第 2次付款 购买后 12个月第 6次付款；⑵购买后 1个月第 1次付款 , 过1个月第 2次付款 购买后 12个月第 12次付款；⑶购买后 4个月第 1次付款 , 再过4个月第 2次付款 , 再过4个月第 3次付款 你能帮他们参谋选择一下吗？” 1 举此例的意图 :分期付款是教学的一个难点 ,选择该题一是学生可感受性强 ,有实用性 ;二是对不同类型的付款方式似乎不同 ,但算法类似 ,可归结到一个公式 分析解决问题的过程： 1．启迪思维，留有余地： 问题 1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ 每次付款额是 10000 的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息） 问题 2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题） 解决问题的关键在于 按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ — — 设为 x 2．了解分期付款中的有关规定： 规定每期所付款额相同 ; 每月利息按复利计算 , 即上月利息要计入下月本金 . (3) 分期付款时 , 商品售价和每期所付款额在货款全部还清前会随着时间的推移而不断增值 ( 即产生利 ) 各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息之和 , 等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 . 3．可将问题进一步分解为： 商品售价增值到多少？ 各期所付款额的增值状况如何？ 3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？ 4．分析方案 1 解答： 首先 , 月利率为 1%,电脑购买后 12 个月 ( 即货款全部付清时 ) 时售价增值为 10000×(1+1%) 12( 元 ) 其次 , 设货款全部还清时 , 各期所付款额都为 x 元 , 则 第 6 期付款（即最后一次付款） x 元时，款已全部还清，因此这一期所付的款没利息； 第 5 期付款 x 元时，过 2 个月即全还清，此时所付款连同利息之和为 x(1 1%)2 （元） 同理，第 4， 3， 2，1 期所付的款额到货款全部还清时连同利息的和分别为 x(1 1%)4 , x(1 1%)6 , x(1 1%)8 , x(1 1%)10 , 由商品价格 =付款额，得 12 2 4 6 8 10 10000×(1+1%) =x+(1+1%) x+(1+1%) x+(1+1%) x+(1+1