37椭圆、双曲线的第三定义.doc

PAGE PAGE 4 37.椭圆、双曲线的第三定义 椭圆的性质有很多，我们来看看一类斜率积为定值的性质或结论： 性质1：已知椭圆长轴上两顶点分别为, 椭圆上不同于的任一动点，求证：为一定值． 证明：因为点在椭圆上， 所以，则 所以（定值） 性质2：已知椭圆上关于原点对称的两点，，椭圆上不 同于的任一动点，若存在，求证：为一定值． 证明：因为及都在椭圆上， 两式相减得， （定值） 很明显，性质2是性质1的推广．性质2也可称为是椭圆的中心弦性质．其实在双曲线中也有类似的斜率积为定值的性质或结论． 性质3：已知双曲线的实轴上两顶点分别为，双曲线上不同于的任一动点，求证：为定值． 证明：因为点在双曲线上 所以，则 所以（定值） 性质4：已知双曲线上有两点关于原点对称，双曲线上不同于的任一动点，若都存在，求证： 为定值． 证明：因为及都在双曲线上， 两式相减得 从而（定值） 由此看来，双曲线与椭圆有共同的描述．根据这些描述我们可以归纳出椭圆、双曲线的“第三定义”： 平面直角坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于和的常数的轨迹为椭圆或是双曲线（除这两点）．当这个常数为负数时为椭圆，当这个常数为正数时为双曲线．特殊地，当斜率积为1时是等轴双曲线． 设动点，常数为，由已知， 当时 经过检验也适合上述方程 当时，为双曲线，其中当时，为等轴双曲线； 当时，为圆； 当时，为焦点在轴上的椭圆，为长轴上两顶点； 当时，为焦点在轴上的椭圆，为短轴上两顶点． 由于斜率及斜率之积都是代数量，不是几何量，以上结论对坐标系的限定是必需的．其实以上关于“椭圆及双曲线的第三定义”的一些结论和性质，对焦点在轴上的标准方程适用，也可证明对焦点在轴上的标准方程也有类似结论和性质，对坐标系平移后或图形平移后也有类似结论和性质．但不能把图形位置旋转，例如上任一点到两个顶点的连线斜率积不是定值． 下面来看看常数与离心率之间的关系： 在椭圆性质1，2中： 在双曲线性质3，4中：时， 在“第三定义”中，当时， 时， 当时， 此时 由以上讨论可知当焦点在轴上时，无论是椭圆还是双曲线，斜率之积为常数，这个常数等于． 当焦点在轴上时，无论椭圆还是双曲线，斜率之积为常数，这个常数等于． 椭圆与双曲线的“第三定义”及性质在高三教学及高考中有很多应用． 例1：椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值 围是,那么直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由椭圆的第三定义及性质可以知道直线的斜率与直线斜率的乘积为，，选. 例2：若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点．若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ） A． B． C． D． 解：由双曲线的第三定义及性质可以知道，， ，，选. 例3：已知是椭圆的任意一条弦，的中点为,求证：为一定值． 证明：作关于O的对称点，由椭圆的第三定义及性质可以知道为定值，由三角形中位线性质可得，为定值，其定值为。 这条性质很有意思，有点像圆中的垂径定理（圆中类似的定值为）。 例4：（2010年高考北京卷第19题） 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线的斜率之积等于，求动点的轨迹方程． 解：由椭圆的第三定义及性质可以知道动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，不妨设此椭圆方程为 的轨迹方程为 例5：（2011年高考江西卷第20题） 是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为，求双曲线的离心率． 解：由双曲线的第三定义得：，即． 例6：（2010年高考广东卷第20题） 已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上不同的两个动点，求直线交点的轨迹的方程． 解：，关于轴对称，．设的交点为．由双曲线的第三定义得，，即，再由椭圆第三定义得，的轨迹方程为． xOyPABEF 例7：已知椭圆的中心在原点，焦点分别在 x O y P A B E F 且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形的面积为． （1）求椭圆与的标准方程； （2）设P是椭圆上非顶点的动点，P与椭圆长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与交于点E，F． ①求证：直线PA，PB斜率之积为常数； ②直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解：(1)依题意，设 ，由对称性知，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得，所以椭圆 ①证明：设，则 ， ∴为常数 注：由椭圆的第三定义