自考线性代数(经管类)第16章教案(已排版).docx

线性代数（经管类） 第一章行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到 的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算， 其结果 为一个确定的数. 1.二阶行列式 由4个数a 由4个数aj (i, j 1,2）得到下列式子: a11 a12 a21 a22 称为一个二阶行列式, 其运算规则为 a11 a a11 a12 a21 a22 aiia22 ai2a21 由9个数 由9个数aj(i, j a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1,2,3）得到下列式子: 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶 行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元 素的余子式及代数余子式的概念. 3.余子式及代数余子式 an a12 a13 设有三阶行列式 D3 a21 a 22 a 23 a31 a32 a 33 对任何一个元素aj，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元 素按原先次序组成一个二阶行列式, 称它为元素 素按原先次序组成一个二阶行列式, 称它为元素 aj的余子式，记成Mj 素按原先次序组成一个二阶行列式, 称它为元素 素按原先次序组成一个二阶行列式, 称它为元素 aj的余子式，记成Mj 例如 M11 a22 a23 a32 a33 ，M 21 ai2 a32 ai3 a33 ，M 31 ai2 a)3 a22 a23 再记Aj 1)i jMij ，称Aj为元素aj ij 的代数余子式. 例如 A11 M11 ，a21 m 21， A31 M 31 那么，三阶行列式 D3定义为 D3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 aii Aii a 21 A21 a31A31 我们把它称为D3按第一列的展开式，经常简写成 D3 3 ai1 A1 i 1 3 i 1 (1) ai1M i1 i 1 4. n阶行列式 一阶行列式D1 n阶行列式 d a11 an a21 an1 其中Aj（i, j 1,2丄，n）为元素 5.特殊行列式 上三角行列式 下三角行列式 a11 a12 a 22 an2 aij a1n a2n ann an A11 a21 A21 an1 An1 的代数余子式. a11 a12 L a1 n 0 a22 L a2n L L L L 0 0 L ann an 0 L 0 a21 a22 L 0 L L L L an1 an2 L ann a11 a22 L ann a11 a22 L ann a a11 0 L 0 a a11 0 L 0 对角行列式 0 a?2 L ai1 a22 L ann 0 0 L ann （二）行列式的性质 性质1行列式和它的转置行列式相等，即 D Dt 性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所行列式等于 kD, 也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.有元素所得到的 性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论1如果行列式中有某两行（列）相同，贝S此行列式的值等 于零. 推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行 列式的值等于零. 性质4行列式可以按行（列）拆开. 性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数 以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D. 定理1 （行列式展开定理） n阶行列式D aj|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式的乘积的和，即D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ainAn（i 1,2, ,n） 或D玄门州 a2j"j 玄可代山 1,2, ,n） 前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开 式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求 出它的值. 定理2 n阶行列式D |aj|n的任意一行（列）各元素与另一行（列） 对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即 a i1 Ak1 3i2 Ak2 ain Akn 0(i k) 或 a“ As 32jA2s 3nj Ans 0(j S) （三）行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法: （1） 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行 列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行 列式的前面乘上（- 1）,在按行或按列提取公因子k时，必须在新的 行列式前面乘上k. （2） 把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶 数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很 多个“0”元素，再按这一行或这一列展开: 2 14 1 例1计算行列式D4 解：观察到第二列第四行的元素为 0,而且第二列第一行的元素 是312 1，利用这个元素