(完整版)反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析.docx

反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下 典型例题 为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一 . 探求同一坐标系下的图象 例 1. 已知函数 y mx 与 n 1 在同一直角坐标系中的图象大致如图 x 的是（ ） A. m 0, n 0 B. m 0, n 0 C. m 0,n 0 D. m 0,n 0 分析：由图知，一次函数 y mx 中，y 随 x 的增大而增大， 所以 m 0 ；反比例函数 n y x 在第二、四象限，所以 n 0 。观察各选项知，应选 B 。 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例 2.在同一直角坐标系中，函数 y kx k 与 y k ( k 0) 的图象大致是（ ） x A.  B.  C.  D. 图  2 分析： 本题可采用排除法。由选项 A 、 B 的一次函数图象知， 函数 y kx k 图象与 y 轴交点应在 y 轴负半轴，而选项 A 、B  k 0 即 k 0 ，则一次都不符合要求，故都排 除；由选项 D 的一次图象知， k 0 即 k 0 ，则反比例函数 y k ( k 0) 图象应在第 x 一、三象限，而选项 D 不符合要求，故也排除；所以本题应选 C。 评注： 本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二 . 探求函数解析式 例 3.如图 3，直线 y k 1x b 与双曲线 y k 2 只有一个交点 A（ 1，2），且与 x 轴， y x 轴分别交于 B， C 两点， AD 垂直平分 OB ，垂足为 D ，求直线与双曲线的解析式。 解析： 因为双曲线 y k 2 过点 A（ 1，2）， x k 2 ,k 22 所以 2 1 得双曲线的解析式为 y 2 。 x 因为 AD 垂直平分 OB ， A 点的坐标为（ 1， 2）。所以 B 点的坐标为（ 2， 0）。 因为 y k 1x b 过点 A （ 1， 2）和 B（ 2， 0）， k 1 b 2 所以 2k1 b 0 k 1 2 解得 4 b 所以直线的解析式为 y 2x 4 评注：解决本题的关键是确定点 B 的坐标， 由 AD 垂直 OB 知，点 D 和点 A 的横坐标应相同，所以点 D 的坐标为（ 1， 0），又 AD 平分 OB 知， OB 2OD 2，所以点 B 坐标为（ 2， 0），进而求出一次函数解析式。 三 . 探求三角形面积 例 4.如图 4，反比例函数 y 4 的图象与直线 y 1 x 的交点为 A ，B，过点 A 作 y 轴 x 3 的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则 ABC 的面积为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 解析： 把 y 4 1 代入 y x ，得 x 3 4 1 x x 3 整理得 x 2 12 解得 x 1 2 3,x 2 2 3 把 x 1 2 3, x 2 2 3 分别代入 y 4 ， x 得 y 1 2 3, y 2 2 3 3 3 所以点 A 的坐标为 ( 2 3,2 3) 3 点 B 的坐标为 (2 3, 2 3) 3 由题意知，点 C 的横坐标与点 A 的横坐标相同，点 C 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同， 所以点 C 的坐标为（ 2 3, 2 3）。 3 因为 AC 2 3 2 3 4 3 ， 3 3 3 BC 2 3 2 3 4 3 所以 ABC 的面积为 1 BC 1 4 4 3 8 AC 2 3 2 3 故应选 A。 例 5.如图 5，已知点 A 是一次函数 y x 的图象与反比例函数 y 2 的图象在第一象限内 x 的交点，点 B 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OB ，那么 AOB 的面积为（ ） 2 A. 2 B. C. 2 D.22 2 析解：把 y x 代入 y 2 ，得 x 2 ， x x 整理得 x 2 2 ，解得 x1 2 , x 2 2 得 x 1 2, x 2 2 分别代入 y x 得 y 1 2, y 2 2 又点 A 在第一象限内，所以点 A 的坐标为 ( 2, 2) 在 AOC 中 AC 2,OC 2 由勾股定理，得 OA 2, 所以 OB=2 。 所以 AOB 的面积为 1OB AC 1 2 2 2 ， 2 2 故应选（ C） 评注： 例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。 四 . 探求点的坐标 例 6.如图 6，直线 1 k y x 1