理论力学课件 虚位移原理(0).ppt

? 约束的定义 质点系分为自由质点系和非自由质点系 ⒈几何约束和运动约束 几何约束---只限制质点或质点系在空间的位置 ⒉定常约束和非定常约束 定常约束 ⒊双面约束和单面约束 双面约束 ⒋完整约束和非完整约束 完整约束 二、虚位移 在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移 ?虚位移常用?r、 ?x、?s、??等表示； ①δ---等时变分算子符号（变分符号）； 三、虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用δW 表示。 §2 虚位移原理 ? 具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是： 所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 ? 虚功原理的证明 ⑴必要性的证明： ⑵充分性的证明： 用反证法 ? 虚位移原理的应用 研究平衡状态 螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。 曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆AB = l，曲柄上作用力偶M，滑块上作用力P，求系统在图示位置平衡时，M与P的关系。 [法2]用虚速度法。 图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿OC滑动，从而带动杆AB沿铅直槽K滑动。OC=a，OK= l，在C点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方向，求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。 已知三铰拱上作用有集中载荷P及力偶M，求B支座的约束反力。 解:将固定端约束解除 图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，DH = EH = l。D、E间连着一刚度系数为K、原长为l的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰链H上加一力Q，使机构处于静止平衡状态，试确定Q与θ的关系。 ?建立虚位移之间的关系的方法 1. 作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定 §3 自由度和广义坐标 一、自由度 ⑵以刚体作为质点系基本单元 再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。 约束方程 二、广义坐标 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。 再如平面双摆有两个自由度，选? 1 、 ? 2为广义坐标比较合适。 约束方程 推广可得： 选广义坐标q1， q2 ，…，qN ，则各质点的坐标 §4 以广义坐标表示的质点系平衡条件 将式 ? 以广义坐标表示的质点系平衡条件为 ?计算广义力的方法 ㈠解析法：用公式直接计算 已知图示双摆中均质杆OA的长度、重量分别为l1、W1，AB的长度、重量分别为l2、 W2，并在B端作用一水平力P。试求此双摆在铅直面内的平衡位置。 [解一] 由虚功方程 [解二] 今给?? 1≠0， ?? 2＝0， 再给??2≠0， ??1＝0 [解三] ② 再给??2≠0， ??1＝0，  虚功方程为 这是单自由度简单机械，在任何位置都处于平衡状态，属于随遇平衡的机械。 这是单自由度简单机械，在任何位置都处于平衡状态，属于随遇平衡的机械。 A B H E D Q θ K C A B H E D Q C θ F F x y 由 ∑δWF = 0 QyδyH + FxδxE + FxδxD = 0， 求变分得 各主动力作用点的坐标为 弹簧的伸长量为 Δ = 2lcosθ－l = (2cosθ－1) l ∴弹性力的大小为 F = F = kΔ = k l (2cosθ－1) 解：解除弹簧约束，代之以弹性力F、F’，并视为主动力。 A B H E D Q θ K C 代入虚功方程得 －Q3lcos??? ∴ 2kl(2cos? －1)sin? － 3Qcos? = 0 于是得平衡时Q与θ应满足的关系为： 各主动力在坐标轴上的投影为 A B H E D Q C θ F F x y －kl(2cos? －1)(－2lsin??? )= 0 2. 给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间的比例。 即为虚位移间的比例； 3 .“虚速度”法 （点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等） 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。 ⑴以质点作为质点系基本单元 质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度为 N = 3n－ s 对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，则 N = 2n－ s x y o φ l M 如单摆，n = 1，s = 1， ∴ N = 2×1－1=1 C 质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为 N = 6n－ s 对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0， φx≡0， φy≡0，则 N = 3n－ s x o y xC P v