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2021考研高等数学17堂课
主讲 武忠祥 教授
专题7 泰勒公式及其应用
(一) 泰勒公式
定理1(皮亚诺型余项泰勒公式)
如果f (x) 在点x0 有直至n 阶的导数,则有
f ′′(x ) 2 f (n ) (x ) n
f (x ) f (x ) +f ′(x )(x −x ) + 0 (x −x ) +L+ 0 (x −x ) +R (x )
0 0 0 0 0 n
2! n!
常称 n 为皮亚诺型余项.
R (x ) o((x −x ) )
n 0
若x0 0 ,则得麦克劳林公式:
′ f ′′(0) 2 f (n ) (0) n n
f (x ) f (0) +f (0)x + x +L+ x +o(x ).
2! n!
定理2(拉格朗日型余项泰勒公式)
设函数f (x) 在含有x0 的开区间(a,b) 内有n +1阶的导数,则当x ∈(a,b) 时有
f ′′(x ) 2 f (n ) (x ) n
f (x ) f (x ) +f ′(x )(x −x ) + 0 (x −x ) +L+ 0 (x −x ) +R (x )
0 0 0 0 0 n
2! n!
f (n +1) (ξ) n +1
其中 R (x) (x −x ) ,这里ξ介于x0 与x 之间,称为拉格朗日型余项.
n 0
(n +1)!
几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)
2 n θx
x x x e n+1
(1) 1+ + + + +
e x L x
2! n! (n +1)!
x 3 n−1 x 2n−1 n cosθx 2n+1
x x L x
(2) sin − + +(−1) +(−1)
3! (2n −1)! (2n +1)!
x 2 n x 2n
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