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PAGE 1 二次根式的概念及运算 二次根式的概念 二次根式 形如的式子． 二次根式有意义 被开方数大于等于零（即若有意义，则） SHAPE 1当取何值时，下列式子有意义？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 2 若，为实数，且．求的值． 3 设，求使有意义的的取值范围. 1⑴； ⑵且，即； ⑶且； ⑷； ⑸且；⑹取任意数． 2 ，． 3 ，即. 二次根式的性质 ① ② ③（必考） 化简下列各式 ⑴ ⑵ ⑴ ． ⑵ 【点评】化简类型的二次根式，先写成绝对值，再确定绝对值内代数式的符号，如果不能确定，则应分类讨论． ⑴已知数在数轴上的位置如图所示： 化简：的结果为________ ⑵已知，化简 ⑶化简得( ) A. 2 B. C. D. ⑷若，则 ⑸已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对 ⑹若、为实数，且， 求的值. ⑴ ⑵原式 ⑶注意隐含条件，∴ ∴原式 所以选A． ⑷；⑸B ⑹已知得，即，， 原式 【探究目的】二次根式性质精讲 探究1：，则； 【变式1】化简： ∵，∴， 又∵有意义，∴， ，，原式 探究2：根据根号内的代数式≥0，得出字母的取值范围，然后去绝对值符号； 【变式2】已知为实数，且满足，求的值. 由题意可知，所以原式可变形为， 所以，，即 探究3：，；根据所得的范围去绝对值符号； 【变式3】解方程：. 【解析】； ，，； ； ； ，； 经检验，3与4均为原方程的解. 探究4：，则； 【变式4】已知为实数，，求. 由已知得：①，即②， 由①、②得：，，∵，∴，， ∴. 探究5：，则； 【变式5】如果实数满足，且，求的值. 【解析】, 所以，，，. 探究6：探究4与探究5的结合； 【变式6】在实数范围成立，那么的值是多少？ 此题运用是一个非负数解题，由，，从而. 这时等式变为，∴，， 二次根式的运算 乘法 与积的算术平方根可互相转化： 除法 与商的算术平方根可互相转化： 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算 有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用 乘法公式的推广 ① ② ③ 【引例】计算： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹解法一： 解法二： 老师可以凭借此题的顺序，讲解根式的乘除以及最简二次根式。 计算下列各式 1 ⑴ ⑵ ⑶ 2 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 1⑴ ⑵ ⑶ 2⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑴判断下列各式是不是最简二次根式，若是，请打√，若不是，请化为最简二次根式． 判断及化简 ⑵若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． ⑶若最简二次根式与是同类二次根式，则 ⑴ 判断及化简 √ √ ⑵根据同类二次根式的意义，有，解得． ⑶ 0 计算下列各式 ⑴ ⑵ ⑴ ⑵ 此题可以应用平方差公式，老师可以讲解一些技巧性做法 ⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内 ； ； ； ； ； ⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内： ① ② ⑴ ⑵① 由可得， ② 由得， ⑴若满足，那么= ⑵已知，，求的值． 【解析】⑴由条件知，．所以且，所以． 所以，。代入得， 所以． ⑵∵， ∴，。 ∵ ∴． 若适合关系式，则 ． ∵且，∴，∴． ∵， ∴，可得，∴． 课堂训练 已知为实数，且，求的值． 由，∴， ∴ ∴ ∴ 计算 ⑴ ⑵ ⑴ 原式 ⑵ 原式 ⑴ ⑵ ，其中，． ⑴ 原式 ⑵ 原式 课后练习 题型一 二次根式的概念 巩固练习 当_______时，有意义，当____时，有最____值为______． 为任意实数，当时，有最小值 题型二 二次根式的性质 巩固练习 已知、两实数在数轴上对应位置如图所示，化简 由图可知：，，． ∴原式． 题型三