2009-2013年江苏省数学竞赛初赛试题(原题详解).docVIP

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ． 2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ． 4．已知 eq \f(3x＋1,9x－1)＝ eq \f(1,3－31－x)，则实数x＝ ． 5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ． 6．设f(x)＝log3x－ eq \r(4－x)，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3． 8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则eq \o(\s\up7(→),BC)·eq \o(\s\up7(→),AO)＝ ． 9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝ eq \r(2)，则此数列的前2009项的和为 ． 10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积． 12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC． 13．若不等式 eq \r(x)＋ eq \r(y)≤k eq \r(2x＋y)对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； ⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论． 2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009年5月3日8∶00－10∶00) 一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．填0． 解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1， ∴ α＝2kπ＋ eq \f(π,2)，β＝2lπ或α＝2kπ－ eq \f(π,2)，β＝2lπ＋π?α＋β＝2(k＋l)π＋ eq \f(π,2)(k，l∈Z)． ∴ cos(α＋β)＝0． 2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．填11． 解：设公差为d，则得 55＝－5×11＋ eq \f(1,2)×11×10d?55d＝110?d＝2． ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)?k＝11． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．填 EQ \F(－1＋\R(5),2)． 解：由(2b)2＝2c×2a?a2－c2＝ac?e2＋e－1＝0?e＝ EQ \F(－1＋\R(5),2)． 4．已知 eq \f(3x＋1,9x－1)＝ eq \f(1,3－31－x)，则实数x＝ ．填1． 解：即 eq \f(1,3x－1)＝ eq \f(3x,3(3x－1))?32x－4×3x＋3＝0?3x＝1(舍去)，3x＝3?x＝1． 5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．填 eq \f(1,4)． 解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比． VAPQR＝ eq \f(1,2)VAPQD＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)VAPCD＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)× eq \f(1,3)VABCD＝ eq \f(1,18