同济六版高等数学第三章第一节课件.pptxVIP

第三章;一、罗尔定理; 一、罗尔定理;罗尔定理 如果函数y?f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且有f(a)?f(b)? 那么至少存在一点x?(a? b)? 使得 f ?(x)?0? ; (2)若f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点x?(a? b)? 于是;应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足? 则定理的结论有可能不成立? ; 例1 不求导数? 判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根? 以及其所在范围? （P134 第5题） 解 f(1)=f(2)=f(3)=0? f(x)在[1? 2]? [2? 3]上满足罗尔定理的三个条件? 在(1? 2)内至少存在一点x1? 使 f ?(x1)=0? x1是 f ?(x)的一个实根? 在(2? 3)内至少存在一点x2? 使f ?(x2)=0? x2也是f ?(x)的一个实根? f ?(x)是二次多项式? 只能有两个实根? 分别在区间(1? 2)及(2? 3)内? ;例2. 证明方程;二、拉格朗日中值定理; 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 那么在(a? b)内至少有一点x? 使得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a)? ;则函数j(x)在区间[a? b]上满足罗尔定理的条件? 于是至少存在一点x?(a? b)? 使j ?(x)?0? 即; f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a)? f(x?Dx)?f(x)?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? Dy?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? ; f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a)? f(x?Dx)?f(x)?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? Dy?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)? ; 证明 设f(x)?ln(1?x)? 显然f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有 f(x)?f(0)?f ?(x)(x?0)? 0xx ? ;例4. (p134 6)证明等式;三、柯西中值定理;;证: 作辅助函数;柯西定理的几何意义:;例5. 设;内容小结;思考与练习;1. 设;2. 若;作业