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第 41 练 坐标系与参数方程
[题型分析 ·高考展望 ] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方
程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 .以极坐标、参数方程与普通方程的
互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识 .
体验高考
1.(2016 课·标全国甲 )在直角坐标系
xOy 中,圆 C 的方程为 (x+ 6)2+ y2= 25.
(1)
以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求
C 的极坐标方程;
(2)
x= tcos α,
10,求 l 的斜率 .(可
直线 l 的参数方程是
(t 为参数 ), l 与 C 交于 A、B 两点, |AB|=
y= tsin α
以利用直线参数 t 的几何意义求解,即取原点为特殊点得
t1
t2 AB )
解
(1)由 x= ρcos θ, y=ρsin θ可得圆 C 的极坐标方程
2
ρ+ 12ρcos θ+11= 0.
(2)
在(1) 中建立的极坐标系中,直线
l 的极坐标方程为
θ= α(ρ∈ R).
2
设 A, B 所对应的极径分别为 ρ, ρ,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ+ 12ρcos α+ 11= 0.
1 2
于是 ρ1+ ρ2=- 12cos α,ρ1ρ2= 11.
- ρ
+ ρ
2- 4ρ = 144cos2
α-44.
|AB|= |ρ1
2|=
ρ1
2
ρ
1 2
由 |AB|=
10得 cos2α=
3, tan α=± 15
.所以 l 的斜率为
15或-
15
.
8
3
3
3
2.(2015 江·苏 )已知圆 C 的极坐标方程为
2+2 2ρ·sin
θ- π-4= 0,求圆 C 的半径 .
ρ
4
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点
O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系
xOy.圆
2
2
2
C 的极坐标方程为
ρ+ 2
2ρ 2 sin θ- 2 cos θ- 4= 0,
2
2
2
化简,得 ρ+ 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4= 0.则圆 C 的直角坐标方程为
x
+y - 2x+ 2y-4= 0,
(x- 1)2+( y+ 1)2 =6,所以圆 C 的半径为 6.
高考必会题型
题型一 极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,
x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位
.如图,设 M
2
2
2
x= ρcos θ,
ρ=x + y ,
是平面内的任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为 (x,y)和 (ρ,θ),则
y
y= ρsin θ,
tan θ=x x≠ 0 .
例 1 在极坐标系中,曲线 C1: ρ( 2cos θ+ sin θ)= 1 与曲线 C2: ρ= a(a0) 的一个交点在极轴上,求 a
的值 .
解
ρ(
2cos θ+sin θ)= 1,
即
2ρcos θ+ ρsin θ= 1 对应的普通方程为
2x+ y-1= 0,
ρ= a(a0)对应的普通方程为
2
2
2
2x+ y- 1= 0 中,令 y= 0,得 x=
2
x + y
= a .在
2
.
2
2
2
2
2
将
2 ,0 代入 x
+y = a
得 a=
2 .
点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一 .
(2) 在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性 .
变式训练 1 在以 O 为极点的极坐标系中,直线
l 与曲线 C 的极坐标方程分别是
π
2和
ρcos(θ+
)= 3
4
ρsin2θ= 8cos θ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、 B,求线段 AB 的长 .
π
π
π
2
2
2,
解 ∵ ρcos(θ+
)= ρcos θcos
- ρsin θsin
=
2
ρcos θ-
2
ρsin θ= 3
4
4
4
∴直线 l 对应的直角坐标方程为
x- y= 6.又∵ ρsin2θ= 8cos θ,
2
2
∴ ρsin θ= 8ρcos θ.
∴曲线 C 对应的直角坐标方程是
y2= 8x.
x- y=6,
x= 2,
x=18,
解方程组
得
或
y2= 8x.
y=- 4
y=12,
所以 A(2 ,- 4), B(18, 12),所以 AB=
18-2 2+[12- -4
]2= 16
2.
即线段 AB 的长为 16
2.
也可以直接两方程联立,利用公式
AB
1
k 2
x1
x2
2
4x1 x2
。或取一个特殊点,利用直线参
数方程的几何意义。
题型二
参
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