物理_9(4)第二类曲面积分.ppt

* 堂上练习 第二类曲面积分 * 作 业 习题9.4 (189页) (A) 2.(2)(3)(4) (B) 2. 3. 第二类曲面积分 * 第二类曲面积分的概念 第二类曲面积分的等价形式 第二类曲面积分的计算 小结 思考题 作业 surface integral 第五节 第二型曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 * 观察以下曲面的侧 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 1.有向曲面 通常光滑曲面都有两侧. 如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等. (假设曲面是光滑的) 一、第二类曲面积分的概念 第二类曲面积分 * 有两侧的曲面. 规定 (1)双侧曲面 2. 曲面的分类 法向量的方向来区分曲面的两侧. 第二类曲面积分 * (2) 单侧曲面 莫比乌斯(Mobius)带. B、C 粘在一起形成的环 不通过边界可以 这在双侧曲面上是不能实现的. 决定了侧的曲面称为 它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下, 将A、D粘在一起， 行带. 小毛虫在莫比乌斯带上, 爬到任何一点去. 有向曲面. Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家 第二类曲面积分 * 流向曲面一侧的流量. 流量 实例 ( 为平面A的单位法向量) (斜柱体体积) (1) 流速场为常向量 有向平面区域 A, 求单位时间流过A的流体的质量 (假定密度为1). 3. 流体的流量 第二类曲面积分 * (2) 设稳定流动的不可压缩流体 给出, 函数 流体的密度与速度均不随时间而变化 (假定密度为1) 的速度场由 当 不是常量, 曲面 求在单位 时间内流向 指定侧的 流体的质量 是速度场中的一片有向曲面, 第二类曲面积分 * 指定侧的单位法向量为 则单位时间内通过 将流量微元在 上积分就得到所求的流量: 这就是一个第二类曲面积分. 第二类曲面积分 * 定义 设有向光滑曲面 ,给定侧的单位法向量为 又设 是一个连续的向量值函数, 则定义 上的第二类曲面积分 为 注意: 被积表达式都定义在曲面上,即满足曲面的方程. 第二类曲面积分 * 第二类曲面积分的性质等与其它积分类似, 特别,设 则 第二类曲面积分 * 二、第二类曲面积分的等价形式 设有向光滑曲面 ,给定侧的单位法向量为 定义曲面微元 在三个坐标面上的 有向投影的面积元素为 又设 是一个连续的向量值函数, 第二类曲面积分 * 则 有向曲面元 第二类曲面积分也称为对坐标的曲面积分. 当曲面Σ 注意 母线平行于z轴的柱面时, 第二类曲面积分 * 三、第二型曲面积分的计算 设 设给定侧的单位法向量为 是一个连续的向量值函数, 则 注意:曲面积分中,被积表达式满足曲面的方程. 第二类曲面积分 * 特别, 注意:曲面积分中,被积表达式满足曲面的方程. 第二类曲面积分 * 侧. 特别 注 1.对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的 2. 被积表达式满足曲面的方程 第二类曲面积分 * 计算对坐标的曲面积分时(三步曲): (1) 认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为 这两个变量的函数,并确定Σ的投影域. (2)代Σ 的方程入被积函数,化为投影域上 的二重积分. (3) 根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分 前的正负号. 第二类曲面积分 * 例1 解 第二类曲面积分 * 同理 故 第二类曲面积分 若都化为对坐标x,y的积分,计算很复杂. * 例2 计算 解 注意法向量的表达形式 第二类曲面积分 * 则 第二类曲面积分 * 令 则原式= 第二类曲面积分 * 例3 计算 解 x y z 在yoz平面的投影区域为 第二类曲面积分 * 则 y z 第二类曲面积分 * 在yoz平面的投影区域为 y z 在yoz平面的投影区域为 y z 第二类曲面积分 * 从而 第二类曲面积分 * 例4 下侧. 解: 在xoy面上的投影区域为 则, 对不同坐标曲面积分之间的转换 第二类曲面积分 * 由对称性 第二类曲面积分 * 例5 求 化为第一类曲面积分 解 化为第一类曲面积分得到 第二类曲面积分 * 利用对称性，得到： 从而 第二类曲面积分 * 例6 求 解： 化第一类为第二类曲面积分 第二类曲面积分 * 利用第一，第二类曲面积分的关系，有 第二类曲面积分 * 四、小结 第二类曲面积分的计算 第二类曲面积分的概念 思想: 化为二重积分计算; 对坐标的曲面积分的物理意义 “一投, 二代, 三定号” 两类曲线积分之间的联系 方法: 第二类曲面积分