物理_9(7)散度和高斯公式.ppt

* 证 因为方向导数 是Σ在点(x,y,z)处的外法线 向量的方向余弦. 于是曲面积分 散度和高斯(Gauss)公式 * 移项后,即证. 高斯公式 散度和高斯(Gauss)公式 * 高斯Gauss公式 物理意义--通量与散度 四、小结 表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系. 高斯Gauss公式的实质 (注意使用的条件) 散度和高斯(Gauss)公式 * 解 (如图) 计算曲面积分 绕y轴旋转曲面方程为 一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角 绕y轴旋转 散度和高斯(Gauss)公式 * 取右侧. 有 高斯公式 柱坐标 散度和高斯(Gauss)公式 * 取右侧 故 散度和高斯(Gauss)公式 * 作 业 习题9.7 (213页) 4.(2)(4) 5.(1) (B) 2. 散度和高斯(Gauss)公式 * 向量场的散度 散度的计算 第七节散度和高斯 (Gauss)公式 第九章 曲线积分与曲面积分 高斯 Gauss,K.F. (1777–1855) 德国数学家、物理学家、天文学家 高斯公式 小结 思考题 作业 * 一、向量场的散度 1. 通量 源 水流从原点喷出,我们称原点是一个源. 汇 水流流向原点,我们称原点是一个汇. 为向量场 设有一向量场 则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分: 通量. 穿过曲面Σ这一侧的 散度和高斯(Gauss)公式 * 通量的计算公式 散度和高斯(Gauss)公式 * 2.散度 设有向量场 为场中任一点, 在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面 它所围成的小区域及其体积记为 表示 内穿出的通量, 若当 缩成P点时, 极限 记为 散度. 存在, 则该极限值就称为向量场 在P点处的 即 散度和高斯(Gauss)公式 * 若 表示流速,则散度表示在某一点处, 单位时间内通过单位体积流体的流量. 使得 的点称为源, 使得 的点称为汇, 当 时,则称向量场 为无源场. 散度和高斯(Gauss)公式 * 二、散度的计算 设有向量场 有连续的偏导数, 则散度的计算公式为 推导: 考虑流出小立方体的六个面的流量的总和, 再由散度的定义即可推导出此公式. 散度和高斯(Gauss)公式 * 引入算子向量 则有 例1 求向量场 散度和高斯(Gauss)公式 * 格林公式把平面上的闭曲线积分与 本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 它有明确的物理背景— 三重积分的关系. 所围区域的二重积分联系起来. 通量与散度. 三、高斯公式 散度和高斯(Gauss)公式 * 设空间中点 处的不可压缩流体的速度为 为一光滑闭曲面,围成的区域为 单位外法向量为 则单位时间内通过 流出的流体质量(即流量)为 散度和高斯(Gauss)公式 * 另一方面,在 内任取一微元 , 它包含点 流出的流量为 因此整个区域 流出的流量为 根据质量守恒定理,有 这就是高斯公式. 散度和高斯(Gauss)公式 * 高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801 –1861 具有 则有公式 一阶连续偏导数, 或 外侧, 高斯公式 定理 (散度定理) 散度和高斯(Gauss)公式 * 证明思路 分别证明以下三式, 从而完成定理证明. 只证其中第三式, 其它两式可完全类似地证明. 散度和高斯(Gauss)公式 * 证 设空间区域Ω 母线平行于z轴的柱面. 即边界面 三部分组成: (取下侧) (取上侧) (取外侧) 散度和高斯(Gauss)公式 * 由三重积分的计算法 投影法(先单后重法) 散度和高斯(Gauss)公式 * 由曲面积分的计算法 取下侧, 取上侧, 取外侧 一投,二代,三定号 散度和高斯(Gauss)公式 * 于是 散度和高斯(Gauss)公式 * 同理 合并以上三式得 自己证 高斯公式 散度和高斯(Gauss)公式 * 若区域Ω的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时, 可以引进几张辅助的 曲面把Ω分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满 足假设条件, 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此, 高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的. 散度和高斯(Gauss)公式 * 由两类曲面积分之间的关系知 高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了 它能简化曲面积分的计算. 一个新途径, 表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系. 高斯Gauss公