线性代数 3-6线性方程组习题课.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院 陈建华 线性代数 向量 线性方程组 典型例题 线性方程组 习题课 2. 任一 n 维向量 都是Rn 的基本单位向量组的线性组合: 1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) 有解 (组合系数就是方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 一、向量 有非零解 (无) (只有零解) r < n (r = n) 5. 线性相关 线性相关 不全为0， 4. 线性无关 仅当k1=k2=…=ks=0时成立. 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 是否线性相关—— 竖排行变换. (线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关 定理4. 短无关，则长无关；长相关，则短相关. 定理6. 线性无关， 线性相关 可由 唯一线性表示. 定理1. n个n维向量线性相关 (线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关. 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理5.向量组 线性相关 定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 定理7. 向量组(I)可由(II) ，(II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示 定理9 向量组 可由 线性表示,若t > s，则向量组 线性相关. 推论1(逆否命题) 线性表示 线性无关，且可由 定理10 推论：等价的向量组秩相等. 可由 线性表示 推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等. 定理11 矩阵A的行秩＝列秩＝秩 重要结论: 行变换不改变列向量间的线性关系 定理1 设非齐次方程组Am×nX＝b，则 (1) r(A)≠r( A )，原方程组无解 (2) r(A)＝r( A )＝n，原方程组有唯一解 (3) r(A)＝r( A )< n，原方程组有无穷多组解 返回 有解判定定理 二、线性方程组 推论1 当齐次线性方程组方程个数m<未知数个数n时，必有非零解. 定理2 设齐次方程组Am×nX＝O，r(A)＝r，则 (1) r＝n，原方程组有唯一零解 (2) r< n，原方程组有非零解(有无穷多组解) 推论2 若齐次方程组An×nX＝O系数行列式|A|＝0，则必有非零解. 齐次线性方程组 有非零解 解的判定定理 1.齐次线性方程组解的性质 1) 两解之和仍是解 2) 常数乘以解仍是解 一般地，解的线性组合仍是解 导出组 2.非齐次线性方程组解的性质 1)(1)的两解之差是其导出组的解 2)(1)的一解与其导出组的一解之和仍是(1)的解 解的性质定理 1.齐次线性方程组解的结构 定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础解系。 定理3 对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r < n，则基础解系存在，且均含n-r个解。 齐次线性方程组(2)当 不存在 基础解系 r(A)＝n 时只有零解, 当r(A)＝r < n时，有： 解的结构定理 2. 非齐次线性方程组解的结构 定理2 若 是非齐次线性方程组(1)的一个解, 是其导出组(2)的全部解,则方程组(1)的全部解(通解,一般解)为 (k1,k2,…,kn-r为任意常数) 三、典型问题剖析 例1 设A是m×n矩阵，则线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A 的（ ）． (A)行向量组线性无关 (B)行向量组线性相关 (C)列向量组线性无关 (D)列向量组线性相关 ，若 例2 设矩阵A的伴随矩阵不为零， 是非齐次线性方程组AX＝b的互不相等的解，则对应的齐次方程组AX＝O的基础解系 ( )． (A) 仅含一个非零解向量 (B) 含有两个线性无关的解向量 (C) 不存在 (D) 含有三个线性无关的解向量 （练习卷P23第二题第3题） （练习卷P23第二题第5题） 例3 (94考研)设向量组 求向量组的一个极大无关组，向量组的秩，并写