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数学(理工)试题 第 PAGE 1 页 (共 NUMPAGES 6 页)
普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数 学(理工农医类)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页. 时量120分钟. 满分150分.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 满足(为虚数单位)的复数 【 】
A. B. C. D.
2. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则 【 】
A. B. C. D.
3. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则 【 】
A. B. C. D.
4. 的展开式的系数是 【 】
A. B. C. D.
5. 已知命题:若,则;命题:若,则. 在命题
①; ②; ③; ④
中,真命题是 【 】
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6. 执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于 【 】
A. B. C. D.
正视图
正视图
侧视图
俯视图
图2
7. 一块石材的几何体三视图如图2所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于 【 】
A. B. C. D.
8. 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 【 】
A. B. C. D.
9. 已知函数,且,则函数的图像的一条对称轴是
【 】
A. B. C. D.
10. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点,则的取值范围是 【 】
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.
(一)选做题:在11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按全两题记分.
图311. 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线(为参数)交于两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是 .
图3
12. 如图3,已知是⊙的两条弦,,
则⊙的半径等于 .
13. 若关于的不等式的解集为,则 .
(二)必做题(14~16题)
图414. 若变量满足约束条件,且的最小值为,
图4
则 .
15. 如图4,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则 .
16. 在平面直角坐标系中,为原点, ,动点满足,则 的最大值是 .
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和. 现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品. 设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.
.
18.(本小题满分12分)
图5如图5,平面四边形中,
图5
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的长.
19.(本小题满分12分)
图b如图6,四棱柱的所有棱长都相等, 四边形和四边形均为矩形.(Ⅰ)证明:平面;
图b
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
20.(本小题满分13分)
已知数列满足
(Ⅰ)若数列是递增数列,且成等差数列,求的值;
(Ⅱ)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.
21.(本小题满分13分)
如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.
图7(Ⅰ)求的方程;
图7
(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.
22.(本小题满分13分)
已知常数,函数.
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;
(Ⅱ)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
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