初等模型-数学帮math110.ppt

例2 双层玻璃的功效 例3 崖高的估算 方法一 例4 录像带还能录多长时间 例7 方桌问题 * * 高等数学是现代各科知识的理论基础，在数 学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分 等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽 象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。 在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生 养成数学建模的习惯。 暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛， 培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。 高等数学在数学建模中的应用举例 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。 例1 舰艇的会合 令： 则上式可简记成 ： A(0,b) X Y B(0,-b) P(x,y) O 航母 护卫舰 θ1 θ2 即： 可化为： 记v2/ v1=a通常a1 则 汇合点 p必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程） （航母的路线方程 ） 即可求出P点的坐标和θ2 的值。 本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用 在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提出以下 假设： 1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。 2、室内温 度T1与户外温 度T2均为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为θ d d l 室外 T2 室内 T1 Ta Tb 由热传导公式 θ=kΔT/d 解得： 此函数的图形为 d d 室外 T2 室内 T1 类似有 一般 故 记h=l/d并令f(h)= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 h f(h) 考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的 3% 。 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器。 假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式 来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有 再积分一次，得： 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 ① 多测几次，取平均值 再一步深入考虑 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。 还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个方程组： 这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。 录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟 的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计 数为1849，实际走时为185分20秒。我们从 0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像 机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？ r θ R l 由 得到 又 因和 得 积分得到 即 从而有 我们希望建立一个录像带已录像时 间t与计数