高等量子力学 密算符和密度矩阵.ppt

* §14 密度矩阵 §14-1 纯态和混合态 §14-2 密度算符和密度矩阵 §14-3 例 §14-1　纯态和混合态 (14.1) 这个状态也是纯态. (14.2) (14.3) (14.4) 以上的说法若在X表象中说, 纯态的函数为 而混合态的态函数可以写成 而在混合态中为 相干叠加 不相干叠加 §14-2 密度算符和密度矩阵 我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态, 这个量就是本节要介绍的密度算符. 先从纯态开始. 一、密度算符的定义 物理量A的平均值： 密度算符： 注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量. (14.5) (14.6) (14.7) 下面看混合态. 取一个比(14.2)式更一般的混合态如下： (14.8) 物理量A在这个混合态中的平均值： 混合态的密度算符或统计算符： (14.9) (14.10) (14.11) (14.9)和(14.11)二式与纯态情况(14.5)和(14.7)二式完全一样；而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的加权平均. (14.12) 而在薛定谔绘景中, 密度算符则是一个含时算符： (14.13) (14.14) 这是密度算符的运动方程,称为刘维方程. 与海森伯绘景不同. 二、刘维方程 (14.15) 密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵. 在薛定谔绘景中的密度矩阵是含时的, 而在海森伯绘景中, 密度矩阵则是不含时的. 密度矩阵中的“密度”一词是历史上形成的, 并不贴切, 不必深究. (14.16) (14.17) 对于这样的矩阵, 其迹是 (14.18) 三、密度算符的一些性质 我们研究一个一般的混合态： (14.19) 1、 (14.20) 2、 (14.21) (混合态) (纯态) 3、密度算符是厄米的： (14.22) 证明： 非正交的： 正交的： 式中 (14.24) (14.25) (14.26) 由以上三式可见, 用一组正交基表现一个系统的全部混合态是可能的. 一个系统的任何混合态都可以用任何一组正交基表示成如下形式： (14.27) (14.28) 四、约化密度矩阵 (14.29) (14.30) (14.31) 令 (14.32) (14.33) 这一表式完全与粒子2无关, 是一个只在粒子1空间中的关系. 由(14.32)和(14.31)式知 (14.34) 这是一个(14.27)式类型的密度算符. §14-3 例 我们来看几个自旋态的例子, 自旋态很能说明问题, 而且空间维数少, 比较简单. 纯态 混合态 (14.35) （1） 纯态 由此可算出 *