欧氏空间的定义与本性质.ppt

* §9.1 定义与基本性质 * 一、欧氏空间的定义 　　§9.1 定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间　 、 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： 都可以通过内积反映出来： 夹角　　　 ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 满足性质： 当且仅当 时 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、　定义一个二元实函数，记作 ，若 （对称性） （数乘） （可加性） （正定性） ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注： 例1．在 中，对于向量 当 时，1）即为几何空间 中内积在直角 坐标系下的表达式 . 　即 这样 对于内积　　　就成为一个欧氏空间. 易证 满足定义中的性质　～　. 1）定义 （1） 所以, 为内积. 2）定义 从而 对于内积　　　也构成一个欧氏空间. 由于对 未必有 注意： 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. 易证 满足定义中的性质　～　. 所以 也为内积. 例2． 为闭区间 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 ，定义 （2） 则 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： 且若 则 从而 故 因此， 为内积， 为欧氏空间. 推广： 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， 2) 欧氏空间V中， 使得 　　　有意义. 二、欧氏空间中向量的长度 1. 引入长度概念的可能性 1）在　 向量　的长度（模） 2. 向量长度的定义 称为向量 的长度. 特别地，当 时，称 为单位向量. 3. 向量长度的简单性质 3）非零向量 的单位化： （3） 1）在 中向量 与 的夹角 2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先 三、欧氏空间中向量的夹角 1. 引入夹角概念的可能性与困难 应证明不等式： 此即, （4） 对欧氏空间V中任意两个向量 ，有 （5） 2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 当且仅当 线性相关时等号成立. 证：当 时， 结论成立. 当 时，作向量 由内积的正定性，对 ，皆有 （6） 取 代入（6）式，得 即 两边开方，即得 当 线性相关时，不妨设 于是， (5)式等号成立. 反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知 或者 ，或者 也即 线性相关. 3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用 柯西 不等式 （7） 1） 施瓦兹 不等式 由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 从而得证. 证：在 中， 与 的内积定义为 2） （7） 证： 两边开方，即得（7）成立. 对欧氏空间中的任意两个向量 　　 有 3） 三角 不等式 设V为欧氏空间， 为V中任意两非零 向量， 的夹角定义为 4. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义1： ① 零向量与任意向量正交. 注： ② 　　即　 . 设 为欧氏空间中两个向量，若内积 则称 与 正交或互相垂直，记作 定义2： 5. 勾股定理 　设V为欧氏空间， 证：