2009年高考北京卷理数考试试题解析(原卷版).doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（北京卷） 第I卷（选择题 共40分） 一、本大题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量不共线，如果，那么 A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面的距离为 A． B．1 C． D． 5．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若为有理数），则 A．45 B．55 C．70 D．80 7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A．324 B．328 C．360 D．648 8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点” C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．___________。 10．若实数满足则的最小值为__________。 11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。 12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为____________。 13．若函数 则不等式的解集为____________。 14．已知数列满足：则________；=____________。 三 、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 在中，角的对边分别为，。 （I）求的值； （Ⅱ）求的面积。 16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 （I）求证：平面； （Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 明理由。 17．（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。 18．（本小题共13分） 设函数 （I）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。 19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （I）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。 20．（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。 （I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且 （Ⅲ）证明：当时，成等比数列。